高考数学试题中的“情境设计”与对策
考查情境分值重,有难度,突出“抽象”这个核心素养
2020 年 全 国 2 卷 是 有 实 际 问 题 背 景 的 题 目 : 3( 订 单 ), 4( 天 坛 ), 12( 0-1周 期 数 列 ), 14( 分 组 分 配 ), 18( 变 量 的 相 关 性 ) 共 32 分 , 超 过 了 全 卷 的 五 分之 一 。有 些 题 目 虽 然 位 置 靠 前 , 但 学 生 普 遍 感 觉 有 难 度 , 关键是提高数学阅读能力和发展学生的核心素养——抽象,即根据题目设问,把实际问题抽象成数学问题,进入数学的内部,利用数学知识加以解决。在所有情境的中,我们特别关注新情景的学习能力。
例 1.(2019 全国 1 卷第 4 题)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
(
，称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶至脖子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是
【考试中心的考查目标】试题考查考生对不等式性质的理解和应用。考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力(估算)和解决实际问题的能力。
【点评】从设问方式来看,学生需要确定的是身高的范围,然后从问题情境中抽象出不等关系,估计身高的范围。
创设情境的分类
例 2.(2018 全国 2 卷第 8 题) 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世 界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如30 = 7 + 23 .在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是
【 点 评 】 选择我国科学家创造的世界领先科技成果为情境,增强民族自豪感, 弘 扬 爱 国主 义 情 怀 , 增长学生的知识和见识,还可以从美育、体育、劳育等等去创设情境。对策:参与、了解。
例 3.(2019 全国 2 卷第 16 题)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空 2 分,第二空 3 分.)
【点评】数学美包括对称美、和谐美、简洁美,数学在培养学生发现美、欣赏美的过程中起着重要作用。文科、理科全国II卷第(16)题融入了中国悠久的金石文化,赋以几何体真实背景,有助于学生认知这个全新几何体,在解决问题的过程中,学生要借助几何体的对称性,不仅使学生感受到数学的对称美,更感受到这种美对于解决问题的真实力量。
二、从数学的发展和研究的问题等角度思考情境创设
(一)生活处处在博弈,博弈常常涉及概率计算
例 3.(2020 全国 2 卷第 3 题)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成 1200 份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600 份的概率为 0.05,志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95,则至少需要志愿者( )
例 4.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________.
(二)从建筑或几何物体中创设情境:既要抽象出空间形式(几何体),又要抽象出几何位置关系和数量关系
例 5.(2020 全国 1 卷第 3 题)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
【点评】立体几何是舍弃了物体的颜色、质地等,只保留空间形式,解决此问题的关键在于抽象出立体几何图形,进而从几何图形中抽象出数量关系:棱长和高之间的关系。
例 6.(2020 新高考 1、2 卷第 4 题)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为 O),地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角,点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点 A 处的纬度为北纬 40°,则晷针与点 A 处的水平面所成角为( )
(三)从计数,变量间的关系创设情境
例 7.(2020 全国 2 卷第 4 题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加 9 块,下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块,向外每环依次也增加 9 块,已知每层环数相同,且下层比中层多 729 块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( ).
【点评】从中抽象出等差数列模型。
例 9.(2020 全国 2 卷第 18 题)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的 200 个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到样本数据
(i=1,2,...,20),其中
和
分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本(
,
)(i=1,2,...,20)的相关系数(精确到 0.01);
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
三、考查学生对新定义、新情境的学习能力
四 与其他学科之间的联系
例 14.(2019 全国 1 卷第 21 题)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得 -1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得 -1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为 X.