从学科价值的高度看 2021 甲卷高考数学命题 1

——数学的真正划分不是分成几何和算术，而是普遍和特殊的（James Gregory）今年高考试题变化最大的特点之一，就是把很多以前具体例子的考查变成了一般性问题的研究，高考试题如何体现？这样的价值何在？如何导向教学？我们该如何应对？

我们首先以甲卷 3 个题

法二：（关注特殊性本身，寻找研究此类问题的一般方法）

【点评】通过考查对一般问题及方法，需要考生寻找对应研究问题的基本方法。

【点评】最后一个压轴题给出了一个两个基本初等函数构成的函数的零点问题，题目非常简洁，但是是一个一般性问题的研究。

【点评】重要的不仅仅是方法，更重要的是我们对方法的理解和反思，抛物线中弦所在直线方程应该是视为这个问题基本且核心的要素，故找到其一般的表达式是第一步，相切，就会得到等量关系，把切点视为未知数，则有方程，多个切点，就会想到同一个方程有多个根。

摘自《古今数学思想》（微积分的创立）：在速度—时间的图形下的面积就是距离。因为距离的变化率必定是速度，所以如果把面积看做是求和，它的变化率必定是面积函数的导数。但是 Torricelli 没有看到普遍的情况。费马同样也只在特殊的例子中指导了面积和导数间的关系，没有体会到它的一般性或重要性……

实际上在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺以前，微积分的大量知识已经积累起来了，甚至在 Barrow 的一本书里，就能看到求切线的方法，两个函数的积和商的微分定理，x 的幂的微分，求曲线的长度，定积分中的变量代换，甚至还有隐函数的微分定理，虽然在 Barrow那儿，几何的表达使得普遍思想难于辨识，但在 Wallis 的《无穷的算术》中，可与之相比较的结果，是用代数的形式表达的。

人们于是惊问，在主要的新结果方面，还有什么有待于发现呢？问题的回答是方法的较大的普遍性以及在特殊问题里建立起来的东西中认识其普遍性。这世纪的前三分之二的时间里，微积分的工作沉没在细节里。另外，许多人在通过几何来获得严密性的的努力中，没有去利用或者探索新的代数和坐标几何中蕴含的东西，作用不大的细微末节的推理使他们精疲力竭了。最终能培育出必要洞察力和高度概括力的费马，圣文森特的 Gregory 和 Wallis 的算术工作，而 Hobbes 批评他们用符号代替几何，James Gregory 在《几何的通用部分》的序言中说，数学的真正划分不是几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家牛顿和莱布尼茨提供的。

下面摘自《高观点下全国卷压轴题解题研究三部曲》

10. 普遍性与特殊性

——普遍性寓于特殊性之中

一、哲学阐释

普遍性寓于特殊性之中，即任何事物既有个性，又有共性，既要考察它的一般性，又要考察其特殊性。比如要了解一个人，既要洞悉人性，又要洞悉人心，是人皆有人性，对人性指导我们对这个人哪些方面进行考量，但这不足以把这个人研究清楚，还要了解这个人的心，了解这个人的特殊背景和性格的形成等等，学习亦是如此。

二、数学中的理解

三、解题中的应用

在具体的问题中，既要考察一般性，这是一个什么问题；又要考察其特殊性，特殊性往往是突破口，也对应着相应的方法。

【点评】既把三角函数作为一种特殊的函数，强化相应的方法，也把三角函数的研究也纳入一般函数去寻找通性通法，比如研究

的范围，既可以几何意义去思考，也可以直接求导，让学生不要忽略求导也是研究三角函数最值的基本方法。此题首先从一般性进行考虑，把单增转化为导数恒大于等于 0，然后再考虑三角函数的特殊性，转化为二次函数来处理。

对一般情况成立，那对特殊情况也成立，特殊化往往使得问题更容易处理。