【高中数学】集合与函数概念知识点总结
我们先看一些实例：
①1~20以内的所有质数（素数）； 有限集
②到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点；
③全体自然数； 无限集
④方程 x2+3x+2=0 的所有实数根；
⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.
分别归纳概括出它们具有什么共同特征?
一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.
注意： 几种特殊的数集
问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做集合”，这些集合里的元素必须具备什么特性？
先思考以下两个问题：
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合? 否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能
③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？否
1.确定性：
集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。(具有某种属性)
如：高一级身高160cm以上的同学组成的集合.
2.互异性：
集合中的元素是互异的。即集合元素是没有重复现象的。(互不相同)
如：2, 4, 2 这三个数不能组成一个集合，但2,4可组成集合.
3.无序性：
集合中的元素是不讲顺序的。即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合。(不考虑顺序)
如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋组成的集合
集合B：印度洋，大西洋，太平洋组成的集合
集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.
高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之间各自有什么关系？
(1)自然语言表示法
1~20以内的质数组成的集合
(2)列举法
例如，地球上四大洋组成的集合：
{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
例1、用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合；
(3)由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自然数组成的集合.
解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 则
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为B， 则
B={0,1}
(3)设所求集合为C， 则
C={6,12,18}
有限集，无限集
：你能用列举法表示不等式 x －7< 3 的解集吗？
无限集
(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再划一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素的共同特征.
例2
用描述法和列举法描述下列集合
注意：
有限集通常用列举法来表示
无限集通常用描述法来表示
（4）Venn图示法
如：“book中的字母” 构成一个集合
【课程回顾】
1.子集与真子集的区别
(1)从定义上:集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和A与B相等两
种情况,真子集是子集的特殊形式.
(2)从性质上:空集是任何集合的子集,但不是任何集合的真子集;
空集是任何非空集合的真子集.
(3)从符号上:A⊆B指A
B或A=B都有可能.A=A,A⊆A,∅⊆A都是正确的符号表示,A
A,∅
A是不正确的符号表示.
2.对空集的两点说明
(1)空集首先是集合,只不过空集中不含任何元素.
(2)规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.因此遇到诸如A⊆B,A
B的问题时,务必优先考虑A=∅是否满足题意.
一.集合关系的判断
1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则M与T的关系是 ( )
A.M
T B.M
T C.M=T D.M⊈T
2.指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.
(2)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.
(3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}.
(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
二.关于子集、真子集的个数问题
3.(2015·福州高一检测)集合{a,b}的子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若集合{1,2}⊆M
{1,2,3,4},试写出满足条件的所有的集合M.
5.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知集合A
{x∈N|-1<x<4},且A中至少有一个元素为奇数,则集合A共有多少个?并用恰当的方法表示这些集合.
三、由集合间的包含关系求参数
7.由集合间的包含关系求参数已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1),且B⊆A,则实数m的取值范围是 .
8.(变换条件)本例若将集合“B={x|1<x<m}(m>1)”改为“B={x|1<x<m}”,其他条件不变,则实数m的取值范围又是什么?
1.选A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以M
T.
2.(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A
B.
(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角
形,故A
B.
(4)方法一:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集
合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N
M.
方法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N
M.
3.选D.当子集不含元素时,即为∅;当子集中含有一个元素时,其子集为{a},{b};当子集中有两个元素时,其子集为{a,b},故子集个数为4.
4.由于{1,2}⊆M,故1,2∈M,又M
{1,2,3,4},所以符合条件的集合M
有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.
5.【解题指南】根据题意,由集合的子集与其元素数目的关系,可得M中有2个元素,结合题意,由M中元素的特点,可得m的值,即可得答案.
【解析】选B.根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,则m=2.
6.这样的集合A共有11个.因为{x∈N|-1<x<4}={0,1,2,3},
又A
{0,1,2,3}且A中至少含有一个奇数.
故A中只含有一个元素时,A可以为{1},{3},A中含两个元素时,A可以为{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2},A中含三个元素时,A可以为{1,0,2},{3,0,2},
{1,3,0},{1,3,2},
所以综上可知,满足条件的集合A为:{1},{3},{1,0},{1,2},{1,3},
{3,0},{3,2},{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.
7.提示:对于两个连续数集可用数轴分析法通过画数轴来分析它们之间的包含关系.
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4,
又m>1,所以1<m≤4.
答案:1<m≤4
8.【解析】若m≤1,则B=∅,满足B⊆A.若m>1,则由例题解析可知1<m≤4.综上可知m≤4.
两集合间关系的判断步骤
(1)判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A⊈B.
(2)判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则B⊈A.
(3)若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B.
集合子集个数的规律及一个注意点
(1)规律:集合子集、真子集个数的规律是:含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
(2)注意点:解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合,即∅和集合本身.
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点:不能忽视集合为∅的情形.当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.
【防范措施】
空集的特殊性
根据“A⊆B”条件,在求相关参数值时,不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况,同时还要进行检验,看是否满足元素的互异性.如本例错解,忽视B=∅的情况而漏解.
并集的概念：
并集的性质：
疑难解析：
交集的概念
交集的性质：
疑难解析
理解交集的概念应关注四点
(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.
(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.
[例1]
(1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝ ( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于 ( )
A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}
[解析]
(1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
[答案] (1)B (2)A
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
练习：
若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此x＝±2或0.
答案：C
[例2] (1)(北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
求交集运算应关注两点：
(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．
(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．
并集、交集的性质应用技巧：
对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．
本节易错题：
预警：含字母的集合运算忽视空集或检验
[典例]
(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )
A．1或2 B．2或4
C．2 D．1
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．
[解析]
(1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．
(2)由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，
∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；
当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；
当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．
[答案] (1)C (2){a|a≥2}
1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．
2．在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
疑难解析：
对全集概念的理解
“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.
补集的概念和性质
疑难解析
理解补集应关注三点
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)∁UA包含三层意思：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．
[例1] (1)(广东高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________.
[解析]
(1)A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，
所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．
(2)法一：在集合U中，
∵x∈Z，
则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
例题：已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∵∁UB＝{1,4,6}，
∴B＝{2,3,5,7}.
解题技巧
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
练习：
已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求
∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)．
解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，
∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵∁UA＝{1,3,6,7,9}，∁UB＝{2,4,6,7,9}，
∴(∁UA)∩(∁UB)＝{6,7,9}，
(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
说明：作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
解题技巧
利用补集求参数应注意两点
(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
练习题：
已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<－1，或x>0}．若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{x|x<－1，或x>0}，
∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，
因而要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.
即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
1.补集思想的综合应用
[典例] (12分)已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
练习：