八年级|整式乘法与面积的探究（1）

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题目展示

数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的三种纸片：边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的正方形（C类）．

用图1中的A类纸片2张，B类纸片3张、C类纸片1张可以拼出图2所示的长方形．根据长方形的面积，可以用来解释整式乘法：（2a+b）（a+b）＝2a²+3ab+b²，也可以解释因式分解：2a²+3ab+b²＝（2a+b）（a+b）．

（1）如果要拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的大长方形，则需要B类纸片　 　张，C类纸片　 　张．

（2）若用4个B类纸片围成图3所示的图形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，则下列等式中：①a+b＝x；②（x﹣y）²＝2a²；③；ab  ；④xy＝b²﹣a²；⑤x²+y²＝2（a²+b²），正确的有 　      　（写出所有正确结论的序号）．

（3）如果取若张纸片（三种都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2a²+5ab+2b²，请在虚框中画出图形，并根据所画图形将多项式2a²+5ab+2b²分解因式．

（4）如果取若干张纸片（三种都要取到）刚好拼成一个长方形，其面积为4a²+mab+7b²，求m的值．

解题过程

解：（1）4，3；

解法提示：

∵（a+3b）（a+b）＝a²＝4ab+3b²，

∴要拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的大长方形，则需要B类纸片4张，C类纸片3张．

（2）①③④⑤．

解法提示：

由题意得：x＝b+a，y＝b﹣a．∵x＝a+b，故①正确；∵x＝b+a，y＝b﹣a，∴x﹣y＝2a，∴（x﹣y）²＝4a²，故②不正确；∵x＝b+a，y＝b﹣a，∴a  ，b  ．∴ab    ．故③正确；∵x＝b+a，y＝b﹣a，∴xy＝（b+a）（b﹣a）＝b²﹣a²，故④正确；∵x²+y²＝（b+a）²+（b﹣a）²＝a²+2ab+b²+b²﹣2ab+a²＝2a²+2b²，故⑤正确；综上，正确的序号有：①③④⑤．

（3）拼成的长方形如下图：

2a²+5ab+2b²＝（2a+b）（a+2b）；

（4）∵4a²+mab+7b²＝（a+b）（4a+7b）＝4a²+7ab+4ab+4b²＝4a²+11ab+7b²，

∴m＝11；

∵4a²+mab+7b²＝（a+7b）（4a+b）＝4a²+ab+28ab+7b²＝4a²+29ab+7b²，

∴m＝29；

∵4a²+mab+7b²＝2a+b）（2a+7b）＝4a²+14ab+2ab+7b²＝4a²+16ab+7b²，

∴m＝16．

综上，m的值为11或29或16．