八年级|整式乘法与面积的探究（2）

【知识生成】

我们知道，通过不同方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标如图①所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．

（1）图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为　    　、　    　；

（2）你能得出的a，b，c之间的数量关系是　    　（等号两边需化为最简形式）．

【知识应用】

（3）一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为　    　．

【知识迁移】

通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式

（4）如图②表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，以因式分解形式写出一个代数恒等式．

题目展示

解：（1）c²﹣2ab、（b﹣a）²．

解法提示：

图中阴影部分的面积为：

大正方形的面积﹣四个直角三角形的面积＝c²﹣4× ab＝c²﹣2ab．

小正方形的面积＝（b﹣a）²．

（2）a²+b²＝c²．

解法提示：

c²﹣2ab＝（b﹣a）²．

c²﹣2ab＝b²﹣2ab+a²

∴a²+b²＝c²．

（3）17．

解法提示：

∵直角三角形的两条直角边长为8和15，

∴c²＝8²+15²＝289，∴c＝17．

（4）根据题意，得

图②左边的图形体积为x³﹣x

右边的图形的体积为x（x+1）（x﹣1）．

∴x³﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．

答：恒等式为x³﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．