数字滤波器设计小结
来源：EETOP BBS 作者：胡永波
数字滤波器简介：
滤波器可广义的理解为一个信号选择系统，它让某些信号成分通过又阻止或衰减另一些成分。在更多的情况下，滤波器可理解为选频系统，如低通、高通、带通、带阻。当然我们无法做到理想情况下的低通、高通、带通、带阻，这样对于设计滤波器我们边有一个设计目标或者说设计指标，以低通滤波器为例。
数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应、以及系统函数等表示。根据系统函数的表示方式不同可以分为无限长单位脉冲响应滤波器（IIR）与有限长单位脉冲响应滤波器（FIR）。
IIR滤波器的系统函数
对应的差分方程为
其主要实现结构分为四种，即直接I型，直接II型，串联型，并联型
直接按照（1）来实现，具体的电路实现如下：
将传递函数改写为：
按照上面公式实现的电路图如下：
同样我们可以对传递函数进行分解因式或者进行降次，这样便可以得到并联型以及串联型的IIR滤波器结构。
我们可以将传递函数化简为：
这样我们可以实现串联型结构
我们对之进行降阶处理
按照上面的传递函数进行构建电路便实现串联型结构：
设计方法：
从上面的设计结构我们便可以看出我们只需要得到ai，bi之后我们便能够按照用户的需求得到滤波器的电路图，故设计IIR滤波器转换为如何计算ai,bi,设计IIR滤波器一般有两种方法：
1， 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器，这种方法非常方便，模拟滤波器已经具有很多简单而且现成的数学公式，并且设计已经表格化，这样是的设计方便而且准确。
2， 采用计算机辅助设计，利用计算机使得我们设计的实际频谱相应幅度于要求的理论频谱响应幅度的军方误差最小，在这个前提下去求滤波器的系数a,b
实际上设计IIR滤波器便是将S平面映射到Z平面，将模拟滤波器系数转换为数字滤波器系数，这个过程主要有三种方法：冲击响应不变法，阶跃响应不变法，双线性变换法。
FIR滤波器单位脉冲响应滤波器的系统函数为
其差分方程为
其基本结构形式有三种，即直接型，级联型以及频率取样型。
设计方法：
主要的设计方法是两种，窗函数法和频域抽样设计法。
窗函数法：
如果所希望的滤波器的理想的频率响应函数为
，则其对应的单位脉冲响应为
窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列
逼近
。由于
往往是无限长序列，而且是非因果的，所以用窗函数
将
截断，并进行加权处理，得到：
就作为实际设计的FIR数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数
为
式中，N为所选窗函数
的长度。
我们知道，用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数
的类型及窗口长度N的取值。设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N 。各种类型的窗函数可达到的阻带最小衰减和过渡带宽度见下图。
各种窗函数的基本参数
|
窗函数 |
旁瓣峰值幅度/dB |
过渡带宽 |
阻带最小衰减/dB |
|
矩形窗 |
-13 |
4π/N |
-12 |
|
三角形窗 |
-25 |
8π/N |
-25 |
|
汉宁窗 |
-31 |
8π/N |
-44 |
|
哈明窗 |
-41 |
8π/N |
-53 |
|
不莱克曼窗 |
-57 |
12π/N |
-74 |
|
凯塞窗(α=7.865) |
-57 |
10π/N |
-80 |
这样选定窗函数类型和长度N之后，求出单位脉冲响应，这样我们对输入x与冲击响应做卷积便可以得到滤波后的实数序列。
窗口法的设计步骤：
给定理想频响函数
；
根据指标选择窗函数。确定窗函数类型的主要依据是过度带宽和阻带最小衰耗的指标；
由
求
，加窗得
频域抽样设计法：
窗函数法是从时域出发，把理想的
用一定形状的窗函数截取成有现场的
来逼近，这样得到的频率响应逼近与所要求的理想的频率响应，而频域抽样设计法则是从频域出发，将给定的理想频率响应加以等间隔的抽样，然后将这个抽样值作为实际FIR滤波器的频率特性的抽样值，这样IFFT之后便可以得到冲击响应。
频域抽样设计法设计步骤：
根据设计出来的H(z)，可得出频响
上式是由离散谱求连续谱的内插公式，
是内插函数，它的图形近似sinc。滤波器频谱
等于以理想谱抽样值H(k)为权值的、以
为中心位置的N个sinc函数之和。由采样点恢复出来的谱
与理想谱
相比，在采样点上是完全吻合的，这是由sinc函数特点决定的，它在
处的幅度都是零，一个样点扥诶插函数对其它样点的值没有任何干扰。但在两样点之间，
的值是各样点的内插函数在该处值的叠加，与
相比可能有误差。采样点之间频谱误差的大小与样点的疏密有关，更与相邻两个样点值变化的大小有关。
由上面可得理想频谱曲线越光滑平坦，样值变化越小，则误差越小；
采样点越密，相当于相邻样值的变化越小，误差越小。
如果理想频响曲线变化剧烈，甚至有不连续点，则内插所恢复的值与理想值的误差就很大，在不连续点旁边就会出现由sinc函数造成的肩峰和振荡，这和窗口法是一样的。
总结：
比较IIR和FIR的优缺点：
IIR：1）可利用成熟的AF理论；
2）相同的指标下，实现采用的滤波器的阶次较低
3）要么有混叠现象（使幅度特性难于满足要求），要么有相位的非线性（在现代数字系统中，数据传输、图像处理等都要求线性相位）
FIR：1）幅度特性可以随意设计；
2）可有严格的线性相位特性；
3）h(n)为有限长，不存在稳定性问题；
4）可借助FFT来实现；
5）实现采用的滤波器的阶次较高，因为多采用非递归结构。
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