因式分解(8)

甬上煌言

今天本来是要讲待定系数法的,但是被人猜到了,所以只能先讲一下配方法了。

贼老师

配方配方,顾名思义,重点在这个字上,也就是说,需要把式子进行适当的变形后才能使用我们之前讲过的方法和技巧。

所以,从名字上来看,配方法也是技巧性极强的一种操作。很多家长在学生时代碰到这种时刻都会惊呼:

我的天那,这是怎么想到的?!

比如下面这种:

很容易看出,只要三个三个一分组,就含有公因式

举这个例子的作用只是为了。。。皮一下。

事实上我们考试中所用的配方法远远没有到这个地步。

配方法的难度是比较大的,但是并不是不能训练。

昨天还在给人讲,做数学也好,其他的学问也好,总结下来无非就是两句话:

一是用会的推不会;二是从简单到复杂。

然而这是绝对的真理。

我们再回头看一元二次多项式

因式分解。

在因式分解3里我们提到了关于什么样的一元二次多项式可以进行因式分解的问题。当时我们的处理方法就是把一次项、二次项和部分常数项凑成了完全平方:

括号内的前三项是个完全平方,即

这就是配方法了。

贼老师

从这个过程中我们可以看到,配方就是把七零八落的项凑成完全平方的样子。那问题来了,能不能用二次项和常数项呢?用一次项和常数项呢?

如果挑二次项和常数项,那么一次项的系数有可能就不是有理数了;一次项和常数项大家可以试下,效果和用二次项和一次项是一样的。

那么怎么才能高效地配方呢?对于配完全平方来说,配完了之后一般就是看能不能用平方差公式,这是最常见的情形。

比如我们看

例1

这个时候有两种配法:

以及

很显然,前一种配法直接可以运用平方差公式,而后一种则不行。

那有没有可能通过练习,回回一步到位?

这个真不敢保证,没什么太好的办法,配方配上了就是配上了,配不上就拉倒吧。

贼老师

不要吐血,数学里这样无奈的时刻其实总的来说并不多。配方法这种技巧最难控制的地方在于,你只有大的原则,至于精细的地方你只能细细体会,这个是没办法讲透的。

作为一个唯物主义者,我是极力避免用玄学这样的字眼,但是就这个点来说,似乎也找不到比玄学更好的解释。你别看上课的时候老师讲的头头是道,这样配那样配,其实多项式如果是偶次的话,总的原则就是往完全平方凑。

不信的话,你如果要转学,那就直接把今天的习题给老师,明确告诉他用配方法,让他当场做——十有八九要抓瞎。

如果不转学的话这招慎用。

所以这个难的配方法,一看运气,二看灵感。总的原则有,但是作用不像其他讲的方法那么明显。

那么高次的呢?如果最高次是3的整数倍,那么可以考虑凑完全立方的公式。

比如我们来看:

例2

前面的各种办法看来都难以奏效。那么就试试配方法吧。当然这个是好题,我们后面讲待定系数法的时候还要用到。

配成完全立方后,就要把多加的部分减去可以得到上式。这时候可以看到,1,3项用了立方和公式之后,和2,4项就有公因式x+y+z了。

敲黑板划重点

所以对于配方法,不外乎:

1.配完全平方;

2.配完全立方;

3.已知公因式进行拼凑——就像本文开头的炫技那种。

那是因为我已经知道那个式子必然包含

所以才配成那样。

练习1

练习2

PS:这两个配出来的,配方法就过关了。

下课!

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好好学习

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