探究简单多面体外接球半径的解法* / 开普饭

广州市铁一中学(510600)于晓闻

在研究多面体的外接球问题时,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.解决外接球半径的问题,实质就是要找到外接球的球心,它是关键中的关键,而多面体外接球半径的解法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一.多面体外接球的定义和性质

多面体外接球的定义若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体为球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.

性质1 多面体每个顶点到球心的距离都等于球的半径.

性质2 多面体每个面都有一个外接圆,且其中任意一个圆的圆心O1和球心O的连线垂直这个圆面.

性质3 多面体其中一个侧面外接圆的圆心O1,半径为r,外接球的球心O,半径为R,则R2=r2+|O1O|2.

二.利用确定球心位置求半径

(一)利用球的定义(性质1)确定球心位置

例1 (2017年太原市模拟考试理科第15题)已知三棱锥

则该三棱锥外接球的体积为___.

解析如图1,取BD的中点O,连接AO和CO,在Rt△BCD中,易得

1.在△ABD中,因为AB2+AD2=BD2,所以△ABD为直角三角形,所以

所以OA=OB=OC=OD=1,所以点O为三棱锥A-BCD的外接球的球心,且半径等于1,球O的体积

图1

通过本题探究、分析,结合球的定义(性质1)可以得到简单多面体外接球球心的一些结论.

结论1 若三棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则外接球的球心就是公共斜边的中点.

结论2 若四棱柱是长方体或正方体,则外接球的球心就是其体对角线的中点.

结论3 正棱柱和直三棱柱外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.

结论4 正棱锥的外接球球心在其高或高的延长线上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理或射影定理计算得到.

变式1 (2013年辽宁高考文理科第10题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )(答案:C)

变式2 (2107全国高考III卷理科第8题)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )(答案:B)

(二)利用球的性质(性质2)确定球心位置

例2 (2017年福建省普通高考毕业班单科质量检查.理科第16题)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,

二面角S-AB-C的大小是120°,则此三棱锥的外接球的表面积为_____.

解析如图2,设球心为O,在△ABS中

AB=3,所以SA2+AB2=SB2,所以△SAB为直角三角形.取SB的中点O1,易得O1为△ABS的外心,则O1O⊥平面ABS;设点O2是为△ABC外心,故O2O⊥平面ABC.取AB的中点M,连接OM,O1M和O2M,可得∠O2MO1=120°.易得

因为

故∠OMO1=60°,故

故S=4πR2=21π.

图2

本题利用多面体外接球性质2来确定球心.一般对于棱锥,选择侧面是直角三角形或等腰三角形和底面,因为它们的外心比较特殊,分别通过它们外心做这两个面的垂线,则这两个面垂线的交点就是球心,这样就将问题转化为平面几何的问题,体现了化归与转化思想,把复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,从而使得问题迎刃而解.

变式3 (2017年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(五).理科第15题)三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直,AB=6,则该三棱锥的外接球半径为____.(答案:

)

变式4 (2017年太原市高三年级模拟考试(二).理科第15题)已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,

点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为____.(答案:

)

(三)利用直角坐标系确定球心位置

例3 (2017年广东省深圳市高三年级第二次调研考试.理科第15题)已知M,N分别为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,A1B1的中点,若

则四面体C1-DMN的外接球的表面积为____.

图3

如果到了“山重水复疑无路”时,不要忘了“柳暗花明又一村”就是把几何问题转化为代数问题,利用坐标法,根据题意建立适当的空间直角坐标系或平面直角坐标系,写出各点坐标,利用球或圆的相关性质,求出球心的坐标,从而得到外接球的半径.

三.利用多面体的几何性质求半径

例4 (2014高考陕西卷理科第5题)如图4,已知底面边长为1,侧棱长为

的正四棱柱,它的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )

解析根据正四棱柱的几何特征可得,该球的直径为正四棱柱的体对角线,故

即得R=1,所以该球的体

故选D.

图4

利用正棱柱的对称确定所求外接球的球心位置后,就可以得到外接球的半径.一般具有对称性的正多面体其球心一般都在轴截面或对称中心上,对于这种问题要合理的利用几何体本身的性质求外接球的半径,比直接用球的性质求解来得更快,可以达到事半功倍的效果.

变式5 (2017年天津高考.理科第10题)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为____.(答案:

)

变式6 (2017届河北省石家庄市、唐山市部分学校高三模拟检测(理).第10题)已知三棱锥P-ABC的顶点都在同一个球面上(球O),且

当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,该三棱锥的体积与球O的体积的比值是( )(答案:A)

四.利用构造几何体求半径

例5 (2017年广州市普通高中毕业综合测试(一)理科第10题)如图5,《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )

A.8π B.12π C.20π D.24π

解析由题意可知,三棱锥P-ABC可以补形为如图所示的一个长方体,则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球,则三棱锥P-ABC的外球的直径

所以三棱锥P-ABC的外球表面积S=4πR2=20π,故选C.

图5

通过本题探究和分析,一般构造的几何体是正棱锥和直棱柱(底面是三角形,长方形等),然后求出外接球的半径.常见的一些类型有(1)三个侧面两两垂直(即同一顶点的三条侧棱两两垂直)或四个面都是直角三角形的三棱锥,则可以把三棱锥补成长方体或正方体.(2)六条棱都相等(即正四面体)或对棱相等的三棱锥,则可以把三棱锥补成长方体或正方体.(3)若棱锥含有线面垂直或面面垂直关系,则可以把棱锥补成直棱柱.

变式7 (2016年江西省赣州市高三摸底考试.理科第9题)在三棱锥P-ABC中,底面ABC是等腰三角形,∠BAC=120°,BC=2,PA⊥平面ABC,若三棱锥P-ABC的外接球面积为8π,则该三棱锥的体积为( )(答案:B)

变式8 (2017年武汉市高中毕业班二月调研测试.理科第9题)如图6,是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰为2的等腰直角三角形,则该几何体外接球的直径为( )(答案:D)

图6

五.利用轴截面求半径

例6 已知正四棱锥S-ABCD的顶点都在同一球面上,该棱锥的高为8,底面边长为4,则该正四棱锥外接球的体积____.

解析1 如图7,连接AC,BD交于点O1,设球心为O,半径为R.由对称性可知点O就在高SO1上而不是它的延长线上,连接AO,得AO就是外接球的半径.由正四棱锥性质可知SO1⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为4,所以

所以

在Rt△AOO1中

所以

所以外接球的体积是

图7

解析2 如图8,连接AC,BD交于点O1,连接AO1,设球心为O,半径为R.由对称性可知点O就在高SO1上或它的延长上,延长SO1交球于点E,连接AE,所以AE就是外接球的直径,所以△SAE是直角三角形.由正四棱锥性质可知SO1⊥面ABCD,正方形ABCD的边长为2,所以

所以

在Rt△SAE中

所以O1E=1,所以2R=SO1+O1E=9,所以外接球的体积是

图8

注解析1利用建立直角三角形,运用勾股定理来解决问题,存在的问题是外接球的球心是在正棱锥的高上还是高的延长线上,要分类讨论,比较复杂.解析2也是利用建立直角三角形,但运用的是直角三角形的射影定理来处理,好处就是不用分类直接就可以求出外接球的直径.

根据本题的探究和分析,我们可以发现轴截面是把空间问题转化为平面问题来处理,从而降低了空间思维难度.选择最佳角度找出多面体含有特征元素的外接球的一个轴截面圆(即大圆),于是该圆的半径(或直径)就是所求的外接球的半径(或直径),然后利用他们的之间主要关系和数量关系,建立直角三角形,利用这种等价转化的数学思想方法来解决多面体外接球半径的问题,这种思路也是探求正棱锥和正棱柱外接球半径的通解通法.

变式9 (改编2012年辽宁高考理科第16题)正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为