研究无穷级数的一种新方法,将一个(无穷)级数转换成另一个级数

最近,我想出了一个有趣的小技巧,将一个(无穷)级数转化为另一个级数。我认为即使我们可能不会通过这种方式发现新的定理,但以新的方式推导出旧的真理仍然很有趣。
在我们开始之前,请回忆一下,我们通过以下方式定义黎曼Zeta函数:
为了介绍这一方法,我认为最好通过一个例子来说明。
让我们考虑一下几何数列:
请注意,为了让级数收敛,我们让z的模小于1。
通过简单的替换,我们可以把它写成:
现在我们有了一个想法。但是为了让这个想法正确地运作,我们需要在两边同时减去1(你马上就会看到为什么)。
我们得到:
在这一点上,我们做一个替换,即z→x/n,隐含的条件是对于某个自然数n,n>x。
在这个替换之后,我们实际上可以对两边的n进行求和,并且注意到:
其中第一个等式是由绝对收敛性证明的。我们有:
现在,回顾一下,余切函数有一个著名的级数表示:
证明这个等式是一个非常好的练习。这个等式意味着:
现在我们有:
因为通过解析延拓:
我们得到了一个美丽的等式:
这个例子只是冰山一角。让我们尝试将这一方法应用于一个稍有不同的级数,看看它能给我们带来什么。
首先,我们将考虑另一个版本的几何级数,即交替的几何级数:
通过两边积分,得到著名的自然对数的表达式:
让x=1,以得到另一个美丽的等式。
然而,我们现在将把上面的方法应用于这个表达式。乘以-1,在两边加上x,再一次用x/n代替x,得到:
现在是进行一些转换的时候了,这需要运用一些对数规则:
你能认出积里面的表达式吗?让我们回顾一下伽马函数的魏尔斯特拉斯积。
其中γ是欧拉-马斯克若尼常数。我们很快就会发现,左边的无限积只不过是一个涉及伽马函数的表达式。更明确地说,我们有:
这意味着:
但是,朋友们:这只不过是ln(Γ)围绕点1的泰勒级数。这是一个众所周知的结果,但得到它的方法是通过我们的小技巧。再往前走一步,就可以看到一个同样有趣的函数的级数,它被称为digamma函数。
通过对两边进行微分,我们得到:
这是由赫尔维茨zeta函数的泰勒级数导出的。至于digamma函数,这是另一篇文章的内容了(后续)。
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