研究无穷级数的一种新方法,将一个(无穷)级数转换成另一个级数 2024-08-04 00:07:42 最近,我想出了一个有趣的小技巧,将一个(无穷)级数转化为另一个级数。我认为即使我们可能不会通过这种方式发现新的定理,但以新的方式推导出旧的真理仍然很有趣。在我们开始之前,请回忆一下,我们通过以下方式定义黎曼Zeta函数:为了介绍这一方法,我认为最好通过一个例子来说明。让我们考虑一下几何数列:请注意,为了让级数收敛,我们让z的模小于1。通过简单的替换,我们可以把它写成:现在我们有了一个想法。但是为了让这个想法正确地运作,我们需要在两边同时减去1(你马上就会看到为什么)。我们得到:在这一点上,我们做一个替换,即z→x/n,隐含的条件是对于某个自然数n,n>x。在这个替换之后,我们实际上可以对两边的n进行求和,并且注意到:其中第一个等式是由绝对收敛性证明的。我们有:现在,回顾一下,余切函数有一个著名的级数表示:证明这个等式是一个非常好的练习。这个等式意味着:现在我们有:因为通过解析延拓:我们得到了一个美丽的等式:这个例子只是冰山一角。让我们尝试将这一方法应用于一个稍有不同的级数,看看它能给我们带来什么。首先,我们将考虑另一个版本的几何级数,即交替的几何级数:通过两边积分,得到著名的自然对数的表达式:让x=1,以得到另一个美丽的等式。然而,我们现在将把上面的方法应用于这个表达式。乘以-1,在两边加上x,再一次用x/n代替x,得到:现在是进行一些转换的时候了,这需要运用一些对数规则:你能认出积里面的表达式吗?让我们回顾一下伽马函数的魏尔斯特拉斯积。其中γ是欧拉-马斯克若尼常数。我们很快就会发现,左边的无限积只不过是一个涉及伽马函数的表达式。更明确地说,我们有:这意味着:但是,朋友们:这只不过是ln(Γ)围绕点1的泰勒级数。这是一个众所周知的结果,但得到它的方法是通过我们的小技巧。再往前走一步,就可以看到一个同样有趣的函数的级数,它被称为digamma函数。通过对两边进行微分,我们得到:这是由赫尔维茨zeta函数的泰勒级数导出的。至于digamma函数,这是另一篇文章的内容了(后续)。 赞 (0) 相关推荐 巧选二次函数表达式 [小试牛刀] [几种特殊情况] 对勾函数?2020福建省中考压轴题分析 训练营机密视频大公开 欢迎转发.分享 传播知识,传播力量! 福建也是全省统一考 选择题: 这题考的是二次函数的性质,先求出对称轴就好了 填空题: 这题看似有反比例,确实会用到反比例函数的对称性.但其实 ... 9数【求二次函数的表达式】 9数[求二次函数的表达式] 一种研究宇宙基本成分的新方法,彻底搞懂粒子物理学 经典的物理理论认为物质由基本粒子组成,它们之间仅以几种不同的方式相互作用.在20世纪70年代,物理学家开发了一套描述这些粒子和相互作用的方程.这些方程共同形成了一个简明的理论,现在被称为粒子物理学的标 ... 【摘要】李倩 史濛辉 陈轶亚:声调研究中的一种新统计方法 ——“增长曲线分析”法在汉语方言研究中的运... 声调基频是一种连续的非线性数据.长期以来,针对基频数据多采用T检验.方差分析等"点对点"的统计方法,但近年来统计工具的不断更新,如线性混合效应模型(linear mixed-eff ... 家事法讲坛预告:父母出资购房”问题的类案检索与裁判规则研究——一个老问题、一种新方法|李凯文 家事法讲坛(网络)第十二期 "父母出资购房"问题的类案检索与裁判规则研究 -- 一个老问题.一种新方法 <中华人民共和国民法典>已于2021年1月1日起正式施行,其中婚 ... 【新知进展】英国研究人员发现一种新的帕金森病治疗方法,令人振奋! "我太难了",该说这话的,应该是我们的大脑. 即便我们什么都不做,只是安静地坐着或躺着,我们的大脑也忙个不停.伊利诺斯州芝加哥西北大学的神经学家康拉德·科尔丁说."人脑在 ... CMU研究人员提出一种新的深部脑刺激方法,可延长帕金森病治疗效果 目前用于临床环境例如治疗帕金森氏症的深部脑刺激并不能区分不同的神经回路.因此,针对特定神经元群的选择性刺激可以取得相当大的改善.Spix等人利用光遗传学开发了一种巧妙的电刺激方案,可增强细胞类型的特异 ... 人才发展的5种新方法? 根据统计局的最新数据,7月份英国经济增长了6.6%,但仍远低于疫情前的水平,英国的失业率也上升到两年来的最高水平.但是,尽管经济受到Covid-19的深刻影响,但企业领导者现在应该从生存模式转变为新常 ... 最近,研究人员发现一种新的玻璃理论,可以导电的金属玻璃 东京大学的科学家们使用计算机模拟元素组成对金属混合物形成玻璃能力的影响,这可能产生坚固的导电玻璃. 东京大学工业科学研究所的研究人员使用分子动力学计算来模拟金属混合物形成玻璃的能力.他们表明,即使成分 ... 重症MRSA万古霉素治疗早期AUC达标难?一种新方法可大幅提高达标率 万古霉素是耐甲氧西林金黄色葡萄球菌(MRSA)感染的标准治疗,但达到最佳药动学指标一直是挑战.尤其是危重病患者,不仅尤其容易发生感染不良结局,且急性肾损伤(AKI)风险更高,治疗早期精确给药至关重要. ... 《Acta Mater》:一种新方法!明显减小稀土磁制冷材料相变滞后 材料科学与工程 今天 点击上方「材料科学与工程」快速关注 材料类综合.全面.专业的微信平台 具有强磁晶耦合和大熵变的磁制冷材料一般呈现出较大的磁热相变滞后,限制材料对磁场的响应速度,导致能量损失,缩短 ...