八年级|“全等三角形”考点精细解读

13．1命题、定理与证明

知识点1：命题

（1）命题定义：表示判断性的陈述句叫做命题．

（2）命题的两层含义：①命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句；②命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断．

（3）命题的组成：命题是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果．．．．．，那么．．．．．”的形式．

知识点2：命题的分类

（1）命题分为真命题和假命题两类：

（2）真命题：有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题．

（3）假命题：有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题．

特别提醒

(1)要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；

(2)要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．举反例是说明一个命题是假命题的常用方法，而所列举的反例应满足命题的条件，不满足命题的结论．

知识点3：定理

（1）基本事实：人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题．

（2）定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．

知识点4：证明及证明的一般步骤

证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．

13．2三角形全等的判定

知识点1：全等三角形

（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形是全等三角形；

（2）相互重合的顶点是对应顶点，相互重合的边是对应边，相互重合的角是对应角；

（3）一个三角形经过翻折、平移和旋转等变换得到的新三角形一定与原三角形全等．

特别提醒

1．寻找对应元素的规律：

(1)有公共边的，公共边是对应边；

(2)有公共角的，公共角是对应角；

(3)有对顶角的，对顶角是对应角；

(4)两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；

(5)两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角．

2．记三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写．

知识点2：证明全等的方法

（1）基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）；

（2）基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为ASA（或边角边）；

（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为AAS（或角角边）；

（4）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．简记为SSS（或边边边）；

（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为HL（或斜边直角边）．

特别提醒

1．书写证明三角形全等的过程的三个步骤：

①写出在哪两个三角形中；②列出三个条件；③写出全等结论．

2．应用SAS．判定两个三角形全等时一定要保证相等的角必须是分别对应相等的两边的夹角，即“两边夹一角”，切不可出现“边边角”的错误；

3．利用三角形全等证明线段或角相等时，先将线段或角放在两个可能全等的三角形中，再证明这两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等即可得出结论．

13．3等腰三角形

知识点1：等腰三角形的有关概念

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．

特别提醒：

等腰三角形按边分类讨论：

1．当等腰三角形涉及边的问题，且不确定已知的边是底边还是腰时，要按照“腰”和“底边”两种情况分类讨论；

2．要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在，把不合题意的情况舍去；

3．等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，但底角只能是锐角，解题时要特别注意．

知识点2：等腰三角形的性质（重点）

1．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线；

2．等边对等角：等腰三角形的两底角相等，（简写成“等边对等角”）；

3．三线合一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合．（简称“三线合一”）；

4．底角为30°的等腰三角形边长的比为1：1：  ，其面积为  a²(腰长为a)；

5．等腰直角三角形边长的比为1：1：  ，其面积为  a²(腰长为a)；

6．其他性质

（1）等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；

（2）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）；

（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则  b<a；

（4）等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则

∠A＝180°﹣2∠B，∠B＝∠C＝  （180°﹣∠A）．

特别提醒：

三线合一的应用：

1．“三线合一”是用来证明两角相等、两线段相等及两条直线互相垂直的重要依据；

2．“三线合一”不能逆过来用，即：一个三角形中，已知三线中的“二线”重合（如高和角平分线重合），那么不能直接说明这个三角形是等腰三角形．但可以通过三角形全等来证明这个三角形是等腰三角形．

知识点3：等腰三角形的判定

1．两边相等的三角形是等腰三角形；

2．等角对等边：在同一个三角形中两角相等的三角形是等腰三角形（证明线段相等又一方法）；

3．如果一个三角形一边上的高、中线和这一条边所对角的平分线中有任意两条线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．（备注：这个需要证明）

特别提醒：

1．一般情况下，在同一个三角形中“欲证边相等先证角相等”，“欲证角相等，先证边相等”；

2．构造等腰三角形的“三种方法”：

（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边的相等关系；

（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形，应用的原理是利用ASA判定三角形全等及全等三角形的对应边相等；

（3）应用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形；

3．确定等腰三角形的方法：两圆一线．

知识点4：等边三角形的有关概念及性质

1．等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．

2．等边三角形的性质：

（1）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°；

（2）等边三角形也具有“三线合一”的性质；

（3）等边三角形的面积为  a²(边长为a) ．

知识点5：等边三角形的判定

1．三条边都相等的三角形是等边三角形；

2．三个角都相等的三角形是等边三角形；

3．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

13．4尺规作图

知识点1：尺规作图

1．尺规作图的定义：只能使用圆规和没有刻度的直尺（有刻度的直尺不得使用刻度的度量功能）这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．

2．基本作图的定义：最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图．

知识点2：五种基本的尺规作图

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作已知角的平分线；

（4）经过一已知点作已知直线的垂线；

（5）作已知线段的垂直平分线．

13．5逆命题与逆定理

知识点1：互逆命题

1．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．

2．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．任何一个命题都有逆命题．

知识点2：互逆定理

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

知识点3：线段垂直平分线

1．性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

2．逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

特别提醒

当题目中出现线段垂直平分线的条件时，常考虑线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，并以此做辅助线，得线段相等；

知识点4：角平分线

1．性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；

2．逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

特别提醒：

当题目中出现角平分线的条件时，除考虑角平分线上的点到角两边的距离相等外，一定注意：角平分线+平行，可推出等腰三角形，即“双平出等腰”．