非欧几何学的历史与阶段划分
内容提要:概述非欧几何学历史上的关键事件,综述历史研究文献。早期的研究者Bonola在20世纪初树立了非欧几何学史研究的典范,他关于非欧几何历史阶段的划分影响至今。叙述Bonola关于非欧几何学史的阶段划分,分析其阶段划分的原因与意义。
非欧几何的历史概述
图1 双曲几何,欧氏几何,椭圆几何中:垂直于同一条直线段的两条直线
图2 欧几里得
公元前300年前后,Euclid《几何原本》问世。之后,希腊的Ptolemy,Proclus等人就开始了证明平行公设的尝试。但其后的两千年间,该问题的研究并未取得实质性的进展。本质上,人们只是得到了一些与平行公设等价的命题。平行公设研究上的突破是由意大利数学家Saccheri于18世纪做出的。
1733年,Saccheri在试图证明平行公设的过程中,从底角为直角的对称四边形出发,讨论了顶角的三种可能性,分别称为直角假设、钝角假设、锐角假设。钝角假设与平行公设以外的九大公理矛盾,所以被Saccheri否定。Saccheri在锐角假设的情形推导出一些看似荒谬的结论,故而认为自己通过归谬法证明了平行公设。德国的Lambert、法国的Legendre等人也沿着类似的思路展开研究。他们分别认为自己否定了钝角假设(当然,这是一个高级的错误)。同时,他们得出大量与锐角假设等价的命题,例如,不存在相似三角形;以及。他们对这些命题产生了不同的态度,Saaccheri认为一些命题是荒谬的,而Lambert却表示困惑,但他承认自己没有能够找到锐角假设中的矛盾。尽管他们的工作中存在着错误,但Saccheri等人考察了与锐角假设、钝角假设等价的一些命题,这是很大的进步。
在数学家们研究平行公设两千多年仍然没有获得证明的情况下,逐渐有研究者转变了对该问题的态度。19世纪初,德国的Schweikart和Taurinus在锐角假设下推导出一些三角学公式,并发现了一个绝对常数的存在,他们认为锐角假设下的几何学可能是成立的。后者得到了非欧几何学的三角公式:
其中分别a,b,c是三边长,A,B,C是三个角度。他们与Gauss通信讨论了新几何的各种结论,Gauss是当时的数学权威,也长期研究平行公设问题,但Gauss从未公开发表与此相关的著作。
图3 Lobachevskii,Bolyai,Gauss
图4 Riemann
四、小结
非欧几何学的历史是非常有趣的主题,其中有很多数学的故事,也可以从中学到数学知识。历史上数学家解决问题、将研究向前推进是一个曲折的过程。在阅读历史的同时,我们追随数学家,分析历史上遇到的问题、尝试解决或者理解数学家的解决方式,这也是一种学习数学的方式。
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作者简介
刘建新,科学技术史博士,信阳师范学院教师教育学院数学教师,主要研究方向为19世纪上半叶的微分几何学史与非欧几何学史。