中考数学压轴题分析：手拉手问题4之面积比值

本文接着今年辽宁中考特色之手拉手问题。两个公共顶点的正方形产生的面积比值问题。

本文选自2020年辽宁省盘锦市中考数学倒数第2题，难度中等。

【中考真题】

（2020·盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．
（1）当点F在线段AD上时．
①求证：BE＝DG；
②求证：CD﹣FDBE；
（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．

【分析】
题（1）①利用SAS证明△BCE≌△DCG即可．

题（1）②的结论与阜新市的中考题一样，方法也是一致。利用截长补短，或者根据√2构造等腰直角三角形，再证明全等即可。

题（2）一直两个正方形的面积比，可以得到两个正方形的边长比，然后利用比例关系可以适当引入未知数，表示出所有的线段长，然后可以得到面积的比值。

由于点F的位置不仅在线段AD上，所以需要分两种情况讨论，即当点F在线段AD上时，或点F在AD的延长线上时。
【答案】（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG．

②证明：如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T．

∵∠FDC＝∠FGC＝90°，
∴C，F，D，G四点共圆，
∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠DGT＝90°，
∴∠GDT＝∠DTG＝45°，
∴GD＝GT，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠TGC，
∵GF＝GC，
∴△GDF≌△GTC（SAS），
∴DF＝CT，
∴CD﹣DF＝CD﹣CT＝DTDG．

（2）解：当点F在线段AD上时，如图1中，

∵，
∴可以假设，
∴BC＝CD＝5，CE＝CG，
∴CF，
在Rt△CDF中，DF，
∴DF＝CT，DT＝4
∴DG＝GT＝2，
∴=2k，
∴==．
当点F在AD的延长线上时，

同法可得，=59k，

∴，
综上所述，的值为或．