20210111借助“面积法”，巧解“鸡兔同笼”问题 / 开普饭

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本期内容有哪些

（1）听一听，什么是'数形结合'思想？

（2）读一读，如何运用面积法解决“鸡兔同笼”问题？

（3）笑一笑，“数学家与灯神”。

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　你知道什么是“数形结合”思想吗？它的起源和发展又是怎样的呢？

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　你知道怎么用“面积法”解决“鸡兔同笼”问题吗？“面积法”和“假设法”之间又有什么联系呢？怎样用“面积法”突破“鸡兔同笼”变式练习的难点呢？

“鸡兔同笼”问题始见于我国古代的《孙子算经》。它的基本形式是，若干只鸡和兔子关在同一个笼子中，已知鸡和兔的总头数及鸡和兔的总腿数，就可以求出鸡和兔各有多少只。

“鸡兔同笼”问题通常用的是“假设法”，在题1中我们就可以假设笼中都是兔，相当于每只鸡都增加2条腿，因此鸡的总只数是：（20×4-54）÷（4-2）=13（只）；如果假设笼中都是鸡，类似地可以得到兔的总只数为：（54-20×2）÷（4-2）=7（只）。

一、

“面积法”，让“假设法”思维可视

这样的“假设”完全是在思维中进行的，是抽象的思维过程。如果把这个问题与几何图形联系起来，或许可以使抽象的思维过程直观化。

“鸡兔同笼”问题的基本数量关系是“总脚数＝每只动物的脚数×只数”，而长方形面积公式也有类似的数量关系“长方形的面积＝长×宽”，因此可以借助长方形来表示这个问题。用长方形的横线段表示动物的只数，竖线段表示每只动物的脚数，那么长方形的面积就表示相应动物的总脚数。见下图：

图中，左边长方形的面积表示兔的总脚数，右边的长方形表示鸡的总脚数，两个长方形面积的和就是题中已知的54只脚。现在“鸡兔同笼”问题就与一个几何问题等价了。前面假设法得到的两个算式可以分别在下面两图中明显地看出来。

图中的辅助线的添加来源于解决几何问题常用的“割补法”，这种方法让思考过程失去了“假设”的涵义。两种方法比较，得到的算式没有什么不一样，但二者的思考过程却有本质的差异，这种差异体现在“看得见”与“看不见”，也就是“抽象”与“直观”的对立。

二、

“画图法”，让“各技巧”一目了然

在鸡兔同笼的解法中，还有很多有趣的解题思路和技巧，如“抬脚法”、“增头法”等。这些方法新颖巧妙、生动活泼，但不是所有学生能很快理解。不过用面积法来辅助解释，就能够一目了然，过目难忘。

（一）鸡翅变足法

想象将每只鸡的2只翅膀也算作鸡脚，那么鸡就变成了有4只脚的动物，同时还可以得出鸡翅的总数就等于原来鸡脚的总数。具体解法如下图：

（二）兔子增头法

想象每只兔又长出一个头出来，它就变成了2头4脚的怪物。然后将它劈开，变成“1头2脚”的“半兔”，相当于一只鸡，且“半兔”只数等于兔的只数。具体解法如下图：

（三）鸡兔抬腿法

鸡兔抬腿法就是要让笼子里面的鸡兔都抬起2条腿。鸡没有脚碰到地面，兔子也少了2条腿碰到地面，那也就是说，笼子里的所有个体都少了2条腿，图中C部分指的是抬腿后消失的腿的总数。现在脚碰到地面的也只有兔子了，也就是图中剩余的蓝色部分。具体解法如下图：

三、

“画图法”，让“变式题”迎刃而解

有些孩子对于“鸡兔同笼”问题的理解、分析和解决都比较顺利，但出现变式时，却不能很好地解决。究其原因，我们可以发现孩子们只知道套用公式，并没有很好地理解知识的本质。通过面积法，利用几何直观让思维可视化，能更好地帮助学生进行转化和理解。

2个对象的倒扣分问题

在鸡兔同笼的变式题中，有一类学生错误率比较高的题目，那就是“倒扣分”问题。运用假设法解决的过程中，替换这一步是学生最容易出错的地方。在题2中，很多学生不理解替换背后的本质，把“10+4”，错写成“10-4”。

运用面积法，就能较好地突破这个难点。我们用长方形A表示做对题所得总分，长方形B表示做错题所扣总分。在作图上，较前面几道题有所区别，将两个长方形进行上下错位摆放。添加辅助线形成长方形C，借用公共部分C进行计算，具体解法如下图：

3个对象的“鸡兔同笼”问题（1）

在鸡兔同笼中的变式题中，除了含有2个对象的基础题，还有3个对象甚至以上的拓展题。这时就需要我们把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象。

题目中提到的蜻蜓和蝉是昆虫，都有6条腿，蜘蛛不是昆虫，有8条腿。蜘蛛没有翅膀，蜻蜓和蝉虽然都有翅膀，但是数目不同。我们不妨从蜻蜓和蝉的共同点入手，因为都有6条腿，所以将二者看成一种小虫，起名叫“蜻蝉”，现在只剩下蜻蝉和蜘蛛了，就把3个对象通过组合转换成了2个对象。假设这18只小虫全是“蜻蝉”，这些蜻蝉的总腿数就是图中D部分，通过剩余蓝色部分可求得蜘蛛的只数，具体解法如下图：

蝉和蜻蜓只数的求法可以从翅膀入手解决，和前面鸡兔同笼问题中两个对象的求法方法相似，这里不再赘述。

3个对象的“鸡兔同笼”问题（2）

粗看这道题，很难入手。不像上一题中的蜻蜓和蝉，存在着脚数相等的关系。其实细读题目我们可以发现，虽然是三个对象，但是其中两个对象存在着一定的等量关系，因此我们可以合并考虑：中号和小号的总价相等，中号的单价是小号的3倍，那么反过来小号的数量是中号的3倍。通过添加辅助线并进行分割，B上方的长方形和C上方3个长方形的宽都等，这样我们就简化了问题，具体解法如下图：