学习笔记：神秘的0

一

在现代人的认知里，0无疑是一个数。说到数，便一定要说其根本1，1是数字系统的普遍性：

1本身（算术中）：某样东西如果存在，它就是一个东西，而它也只能以一个东西存在。每个存在的事物藉由单位的概念，而被称为1。

——可能有读者要被这样的文字绕晕，一方面我们对熟知的东西往往并不“知”更不“熟”，比如数字“1”，我们真的“熟知”吗？究竟什么是1呢？另外我们的教学法过于关注的是“数的抽象”，而忽略了“数的本源”，离开惯用的套语套路，我们发现其实对“数”一无所知！

1是单位（复数中）：当它没有极限时 ，它是“多”，而非特别知识的对象；如果有极限，那么它就是一个数目，或称“数”，其知识构成算术这门学问，“一个数目是由许多单位组成”。

——所以，1首先是“一个存在”，然后成为构成复数的单位。可以说，没有1就没有数。

二

0是一个神秘的数，要真正认识它，需要超越“1个也没有”“起点”“分界线”这样干巴巴的“熟语”，它们太熟，快成了“正确的废话”！我们需要回到历史深处，去探寻0的真面目——

0的三个阶段：

1.记录符号（运算家0）：0是一个功能性的、有用的符号，本身不是数目（数）。它放到一个数后面，就表示这个数成倍。

作为记录符号的0与作为占位的数目字0，区别是什么？如果是符号先有、再用此占位，怎么又成了运算家0？这怎么会是第一个阶段？甚至有了成倍的意义！

2.数目字0：占位的工具，表示这个位置为空。

3.数字0：0要成为数字，必须被定义 于是0＝n－n（n为整数）。因0成为了一个数字，而成为了加减乘除乘方计算的工具。

0的三个历史样态：

1.巴比伦的0：最早的0，公元前三世纪。誊写员创出双斜纹符号用以代表分隔符号。属于数目字0。

2.玛雅的0：公元1000年发明位置命数法，分离符号。

3.印度的0：完整的0，赋予三个功能。公元五世纪。

0的从空到无：

1.空：占位的空——哲学概念，从否定到确定，敢于用某一表现方法来显示空缺。

2.无：空间上的空无和哲学上的不存在——存在的范畴，将“什么都没有”变成“有'没有’”，从逻辑0进步到算术0，拥有一个值。也就是：

没有→有个0

空的位置→零数量

0的发展史，才是真正理解0的最佳路径，这是现在我们习见的0的“成品意义”的教学法无法达到的水平，前者也是理解后者的一种教学法。

所以，我特别赞同在数学教学中引入数学史。与其说是引入学生的学之中，不如说更要引入教师的教之中。教师借用数学史的魔法来提升和完善教学法。

愈学愈觉得，0真的不简单！教师都如此，惘论学生。由此，我有一个实证研究的初步想法，第一步便是做针对老师和学生的问卷调查——噫，猛然激动得睡意全无！走起！

何不从名师工作室领衔人们做起？