关于双动点问题的中考数学压轴题！辅助线构造相似三角形是关键

这是青岛市2021年中考数学的压轴题，是一道关于双动点的问题，主要通过画辅助线构造相似三角形来解决。

如图, 四边形ABCD, AB//DC, CB⊥AB, AB=16cm, BC=6cm, CD=8cm, 动点P从点D开始沿DA边匀速运动, 动点Q从点A开始沿AB边匀速运动, 它们的运动速度均为2cm/s. 点P和Q同时出发, 以QA, QP为边作平行四边形AQPE, 设运动时间为t(s), 0<t<5.

根据题意解答下列问题：

(1)用含t的代数式表示AP;

(2)设四边形CPQB的面积为S(cm^2), 求S与t的函数关系式;

(3)当QP⊥BD时, 求t的值;

(4)在运动过程中, 是否存在某一时刻t, 使点E在∠ABD的平分线上？若存在, 求出t的值；若不存在, 请说明理由.

解：(1)过D作DF⊥AB于点F, 则AF=AB-CD=8cm, DF=BC=6cm.

在Rt△ADF中, AD=根号(AF^2+DF^2)=10cm.

又PD=2tcm, ∴AP=AD-PD=10-2t(cm), 0<t<5.

(2)过C作CG⊥AD于点G, 过P作PH⊥AB于点H,

则△DCG∽△APH∽△ADF，

CG=CD·DF/AD=4.8cm, PH=AP·DF/AD=6-1.2t(cm).

S直角梯形ABCD=BC(CD+AB)/2=72cm.

又AQ=PD=2tcm,

∴S△CDP=PD·CG/2=4.8tcm,

∴S△APQ=AQ·PH/2=6t-1.2t^2(cm),

∴S=S直角梯形ABCD-S△CDP-S△APQ=72-4.8t-(6t-1.2t^2)=1.2t^2-10.8t+72, 0<t<5.

(3)当QP⊥BD时, △PQH∽△BDF，

AH=CD·PH/BC=8-1.6t(cm), 【这个关系是根据△APH∽△DBC得到的】

QH=AH-AQ=8-3.6t(cm),

又QH/DF=PH/BF,【这个关系才是根据△PQH∽△BDF得到的】

即(8-3.6t)/6=(6-1.2t)/8,

解得t=35/27.

(4)存在, 理由如下：连接BE, 延长EP交BD于I,

则PI=AB·DP/AD=3.2t cm,

DI=BD·DP/AD=2t cm,

BI=BD-DI=10-2t (cm),

当BE平分∠ABD时, ∠EBI=∠EBA=∠BEI,

∴IE=BI, 即3.2t+2t=10-2t,

解得：t=25/18.