动点问题的函数图象

动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合、分类讨论思思想解答问题，属于全国中考常考题型，一般以选择题的形式出现.

【典型题1】难度★★★

如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm²，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）

【思路分析】根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．根据题意结合图形，分情况讨论：

①0≤x≤2时，根据S_△APQ＝AQ·AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；

②2≤x≤4时，根据S_△APQ＝S_{正方形ABCD}﹣S_△CP′Q′﹣S_△ABQ′﹣S_△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．

【答案解析】解：①当0≤x≤2时，

∵正方形的边长为2cm，

∴y＝S_△APQ＝AQ·AP＝x²；

②当2≤x≤4时，

y＝S_△APQ

＝S_{正方形ABCD}﹣S_△CP′Q′﹣S_△ABQ′﹣S_△AP′D，

＝2×2﹣（4﹣x）²﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）

＝﹣x²+2x

所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．

故选：A．

【典型题2】难度★★★

在边长为3 cm的正方形ABCD中，动点M自点A出发沿AB方向，以每秒1 cm的速度运动；动点N自点A出发沿折线A—D—C—B，以每秒3 cm的速度同时出发.到达点B时两点同时停止.设△AMN的面积为y（cm²），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）.

【答案解析】

根据题意，作出如图所示正方形ABCD，应分三种情形：

（1）当0<x≤1时，4个选项图象相同，可不作讨论；

（2）当1<x≤2时，点N在边DC上点N₁位置，点M在边AB上点M₁位置，AM₁=x，边AM₁上的高为3，.图象为从左向右上升的线段，排除选项（A）、（D）；

（3）当2<x≤3时，点N在边CB上点N₂位置，点M在边AB上点M₂位置，如图中虚线所示.AM₂=x，BN₂=9-3x..图象为开口向下的抛物线上一段，排除（C），故选B.

【典型题3】：难度★★★

如图，已知A、B是反比例函数，图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C(图中箭头所示路线)匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设矩形OMPN的面积为S，点P运动时间为t，则S与t的函数图象大致为（    ）

【答案解析】当点P在OA上运动时，S随t的增大而增大，且S与矩形边长的平方成正比，也就是与矩形的对角线OP的平方成正比，是t的二次函数，故可排除选项(B)、(D)(也可以根据点P在双曲线上运动时，矩形的面积不变，达到同样目的).当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，排除选项(C).故应选A.

【典型题4】难度★★★

如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

【思路分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判断．

【答案解析】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，

当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．故选：D．