折叠,让不完美走向完美

折叠,让不完美走向完美

――运用轴对称的美感做辅助线

文/郭梅

今天,我上了一节活动课-----《运用轴对称的美感做辅助线》。以前在做这一类的题时,都是直接告诉学生怎么添加辅助线,但是现在我明白了不但要授人以鱼,更要授人以渔,要让孩子知道做辅助线的依据,明白作图方法的来源,这样,他就不是在“背题”和“背思路”,而是真正学会思考了;让他亲自动手参与,将不熟悉的情境转化成熟悉的情境,他就增强了探索的意识。

于是我设计了如下三个活动。

活动一 探究“等腰三角形中的相等线段”

等腰三角形是轴对称图形,它有着均匀的美感,我们运用轴对称图形的特征,站在轴对称变换的角度上研究出了等腰三角形的性质:

1、等边对等角。

2、等腰三角形三线合一。

那么等腰三角形中还有哪些相等的线段?

已知AD是等腰三角形顶角的平分线,除了两腰相等,BD =CD外,还能做出哪些相等的线段?

剪一个等腰三角形,沿底边上的高所在的直线对折后,画出一些线段,会发现什么?

还能画出哪些相等的线段?

1、过点D向两腰引垂线段,两条垂线段相等。在AD上找一点,向两腰引垂线段,两条垂线段相等;在线段AD上任找一点,向两腰引垂线段,对应的线段也相等。

2、连接点D和两腰的中点,两腰的三等分点,n等分点,这些对应的线段都相等,也就是说,只要AE=AF,DE就会等于DF。

3、连接AD上任一点和点B点C的线段,对应的线段相等。

.4、找到BD和CD的中点E和F,连接AE,AF,则AE=AF;其实只要BE=CF,则有AE=AF。

这些对应线段相等,都和轴对称相关,因为通过折叠它们都可以完全重合。因为对称,也给人以美的感觉。

这些题目中的相等的线段,表面上是通过全等或者角平分线的性质获得,实际上根源是因为它们关于AD所在的直线对称。

在等腰三角形中,等边对等角。那么,运用轴对称的性质,我们能解决边角不等的问题吗?

活动二 证明“大边对大角”

我们发现一种现象:三边不相等的三角形中,较长的边所对的角也较大,简称“大边对大角”,如何证明呢?

已知:在三角形ABC中,AB>AC。

求证:∠C>∠B

分析:这个三角形不是轴对称图形,但是我们能不能站在轴对称的角度上解决这个边角不相等的问题呢?虽然这个图形不是轴对称图形,但是AC可以翻折到AB上吗?动手试试,看看能发现什么?

通过折叠,我们发现了折痕,AE就是∠BAC的角平分线,在AB上截取AD=AC,三角形ACE也可以转移到三角形ADE上,∠C=∠ADE>∠B

在证明的过程中,我们发现可以把不规则的图形“改造”成轴对称的图形,解决问题。

那么是不是还可以这么做辅助线呢?

可以延长AC到点F,使AF=AB.这时,整个图形也可以变成轴对称图形。同样的道理,可以证得大边对大角。

活动三 应用知识解决问题

1、在三角形ABC中,AB>AC,AD是角平分线,DF垂直于AB,DG=DE,S△ADE=50,S△DAG=39,求S△DFG。

分析:AD是角平分线,根据以往的经验,AC是可以翻折到AB上的,△ADE和△DAG分列于角平分线两侧,怎么把它们转移到一起呢?

可以在AB上截取AH=AE。可以证得△ADE全等于△ADH,那么△DGH的面积就为50-39=11,进而可以证明△DGF和△DHF面积相等,可以知道S△DFH=5.5

△ADH和△ADE是关于AD对称的,四边形AHDE本身也是也是一个轴对称图形。

2、已知:AD平分∠BAC,CD=CB,AB>AD,求证:∠B+∠ADC=180°

分析:这道题直接无法证明,∠B和∠ADC又分列在AC两边,怎么把它们转移到同一侧呢?如果进行加工,改造出一个轴对称图形可以吗?

共有如下几种做辅助线思路:

1、过点C向AB  AD引垂线段。

2、在AD上截取AE=AB。这种方法是把一条较短的线段补得和长线段一样长,简称“补短”

3、在AB上截取AG=AD。这种方法是在较长的线段上截取一段等于较短的线段,简称“截长”。

“作垂线段”,“截长”“补短”这三种作辅助线的方法,归根结底都是通过构造出轴对称的图形来解决问题的。

在第一个探究活动中,我们明白了轴对称的意义,通过折叠和证明,发现了等腰三角形中的相等的线段,对称可以造成全等,带来相等的线段相等的角。通过第二个探究活动,我知道了如何把不对称的图形转化成对称的图形,即通过折叠,让两个角转移到一起,具有一定的关系。到第三个活动,情况更明朗了,在出现角平分线,问题又不能直接解决的时候,就可以根据实际情况做辅助线,使不对称的问题朝对称的方向发展。

人常说,不如意事八九,如意事一二。生活中尽是不完美,怎么把不完美的事情改造成完美,是需要有智慧的。如何开动脑筋,把不在一起的转化到一起;把不对称的转化成对称,是我们要思索的。

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郭梅

河南省沁阳市外国语中学数学教师。

焦作市骨干教师

河南省书法家协会会员


境自远尘皆入咏 物含妙理总堪寻

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