与形似三角形相关的压轴题(6)

许多的相似三角形相关的压轴题，其解题背景都是在梯形背景下的，因此本文着重研究梯形背景下与相似三角形相关的内容。

首先我们先关注下梯形中的辅助线添法：常见的求梯形面积的方法是作垂线；当对角线互相垂直时，往往会平移梯形的对角线形成直角三角形；当梯形的两底角互余时，往往平移一条腰或延长两腰交于一点；联结梯形的对角线也是常见的添线方法；当出现中点时，往往可以构造中位线或倍长中线。下图就是梯形常见的辅助线添线方法：

📌分析：本题的第(1)问背景是梯形的两底角互余，因此辅助线的添线方法侧重为过点C作平行线；第(2)问出现了cos∠NMA，因此过点N作AM的垂线构造直角三角形就是常见的添线方法；第(3)问的重点关注在“直线MN与直线BC交于点P”，继而点P的位置就有两种可能，通过构造相似三角形求解.

📌分析：本题的第(1)问利用平行线分线段成比例得到EF是△AND的中位线，利用三角形中位线定理解答即可；第(2)问利用△AME与△DNF与△ADF两两相似，将面积比用相似比的平方表示即可，其中渗透方程思想；第(3)问中三个三角形两两形似的情况，已经有了∠DAN=∠ANB，∠ADN=∠DNC的情况，因此，有且仅有∠B=∠AND=∠DNC时，三个三角形两两相似.

特别地，当出现一线三等角模型时，若出现三个三角形两两相似的情况时，此时D为BC的中点。

📌分析：本题的第(1)问就是典型的一线三等角问题证明，然后利用相似三角形对应边成比例求解AP的长；第(2)问的关键是E在直线BC上，因此即①E在线段BC上或②E在BC延长线上.由于(2)的①已经限定了E的位置，因此(2)的②就进行分类讨论.

📌分析：本题的第(1)问由已知tanB的值，通过作高法再结合面积求出高及BC的长；第(2)问利用△EFG中的45°角，利用三角比搭建y关于x的函数解析式.