2021伊朗数学奥林匹克 第二轮 中文翻译

第一天

1.直线上有互异的两点.点为直线上异于以及它们的中点的一点.我们对其进行如下操作:
取点关于或的对称点,将与作为对称中心的点所连线段的中点染成红色.(如果作关于的对称点, 就染中点, 否则染中点)
随后,再对进行相同的操作.
是否可以通过有限步操作, 将的中点染成红色?

2.若正整数满足, 他的任意一位数字都不为, 且可以移除的某位数字, 得到的一个因数, 就称是"梦幻的". 例如,就是梦幻的,因为我们可以通过移除数字得到它的因数.
求证: 梦幻的正整数只有有限个.

3.圆内接于四边形, 与边分别切于点. 与 再次相交于点. 若 的外接圆与分别相切, 求证:共圆.

第二天

4.在圆的圆周上有个点.已知存在一个半径小于的圆, 使得这个点都在该圆的内部或边界上. 求证: 我们可以作一个的直径, 使得所有个点都在这条直径的同侧.(不包括边界)

5.给定个实数. 求证: 我们可以从中选择三个实数 , 使得

6.是否可以在圆周上排列个正整数(不一定互异), 其中至少有一个数为, 且对其中任意一个数, 它的值都等于他前面两个数的最大公约数与后面两个数的最大公约数之和?(即, 若圆周上按如下顺序排列着连续五个数, 则)