神圣几何——黄金螺旋（Golden spiral） / 开普饭

黄金螺旋

（Golden Sprial ）

神圣几何

它既是光也是眼睛

在上两篇关于神圣几何的系列文章中，我们分别介绍了宇宙的神圣数学——黄金比例和斐波那契数列，其实它们两者是密不可分的关系，而螺旋就是将二者紧密连接起来的关键所在。

黄金螺旋就是黄金比例的完美数学模型以斐波那契整数数列的方式来呈现，它们其实就是同一事物在理想和现实层面的不同展现。

自然界最伟大的秘密

螺旋是自然界最伟大的秘密，所有的能量、所有的存在都是照着螺旋形在移动，一切都是以螺旋运作。大自然的螺旋，是我们奥妙生命中最大的提示。

螺旋是地球上的主要标志，在世界各地都可以发现古老的螺旋。在整个欧洲都可以找到成千上万种这样的古代螺旋形，北美新墨西哥州，犹他州，澳大利亚，中国，俄罗斯。几乎地球上的每一种土著文化。古老的螺旋形象征着太阳内体现的增长，膨胀和宇宙能量和天堂。螺旋形式反映了不断发展的宇宙本身的宏观世界。

图1

但是在大自然中，有一种螺旋独受宠爱，我们看到的多数螺旋都跟它有关，这就是黄金螺旋，也被称为对数螺旋。

图2

如果要将黄金螺旋画出来，可以用一个特别的矩形呈现，叫做黄金矩形。而黄金比例就是它的长短边比，即1：1.618。当你将一个正方形置于黄金矩形内，剩下的空间会形成一个新的小黄金矩形（垂直旋转）。在新的黄金矩形中再放入一个正方形，则又会留出一个更小的黄金矩形。这样可以不断地重复下去，这个就叫做黄金矩形。

图3

接下来，我们在每个正方形内画四分之一圆。每条半径都是它们所在正方形的边，圆心是新出现的黄金矩形的顶点，即图中的点1、点2、点3、点4、点5等：

图4

随着黄金矩形不断变小，如果我们继续画圆弧就会得到一个所谓的对数螺线的近似图形：

图5

这样的螺旋在数学上被称为黄金螺旋（或称对数螺旋、对角螺旋），黄金螺旋是最优美、奇妙的几何图形之一，它有三个独一无二的特点：

1、黄金螺旋每一次全程旋转，都会以一个固定的比率增加它到极点的距离；这个比率因螺线的不同而异，并决定螺线的增长率。所以，螺旋看起来像是渐开的花一样。

图6

2、由于黄金螺旋是等角螺线，所以它就成了圆的“近亲”——圆的“径切角”是90°。事实上，原就是一种增长率为0的特殊对数螺旋。我们知道，圆也是最美的图形之一。

图7

3、如果沿着对数螺旋线上的任意一点向内朝着极点走，就必须走许多圈，但走的距离确实有限的——一个有趣的、似乎难以直线的迷人事实！

图8

所谓等角螺线就是向徑和切线的交角永远不变的曲线。这些发散曲线的螺旋角一般在137.5度，更为精确的数字应该是137.50776度，因为137.5=360-360*0.618，所以这个角度又被称为黄金角度。

黄金角度十分特别，是因为没有任何360度的简分数能加以表达；360度的5/8相当接近，8/13更为接近，13/21则算是最接近的了，但没有任何一个分数能准确地表达出黄金角度跟360度的比例。

如下图，将一个圆周进行黄金分割，它的短弧所对应的角度成为“黄金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5° 。

将黄金螺旋上取距离相等的一系列点，发现点于点连线之间的夹角(发散角)都为黄金角。

下图计算机模拟结果可看出，发散角为137.4°和137.6°的螺旋都无法填满平面，而恰好发散角为137.5°的黄金螺旋可以填满平面，做到点于点之间距离相等。向日葵和菊花都满足这样的排布，这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。

图9

黄金螺旋和斐波那契螺旋

很多地方把这种螺旋也叫做斐波那契螺旋，确实它们之间非常相似，但是斐波那契螺旋和黄金螺旋是有区别的。

黄金螺旋是线性的，这意味着它可以无限的向内或向外旋转，并且由于它具有这种独一无二的自相似性，它也是分形得以实现的关键特性。

图10

但是在自然界任何生命的生长必须有一个固定的开始，举例来说，一种名叫珠蓍的植物，刚从地面长出来时，只有一片叶子，过了一段时间，还是一片叶子；当它长到高过茎的时候，就出现了两片叶子，然后 3片、5 片、8 片，然后长出 13 朵花，最终它得到一个数列1,3,5,8,13,21,34,55…，这个数列就是斐波纳契数列，它对生命起着决定性的作用。

图11

我们再看另一个例子，许多书中都说，鹦鹉螺﹙nautilus shell﹚是黄金分割螺旋，实际上它是斐波纳契螺旋，因为你可以清楚地看到它有起点。如果你沿着松果的螺旋数下去，你会发现结果总是斐波纳契数列中的一个数，5 个、8 个、13 个、21 个。许多其他的螺旋都有这样的特征，例如向日葵也与斐波纳契数列有关。

图12

这就是黄金螺旋和斐波那契螺旋之间的区别，黄金螺旋是完美的的源头蓝图，它沒有开端，向内无限小，向外无穷大，如同佛经所言“小而无内，大而无外”，代表的是无穷无尽的宇宙分形模式。

黄金螺旋是生命创造的蓝图，但是这种理想化的几何蓝图是无法直接在自然界展现出来的，因为植物不可能长出1.618片叶子来，所以为了让黄金螺旋在生命中得以展开，大自然就选择了最接近黄金螺旋的斐波那契整数数列形式来实现它。

这就好像量子力学中的波粒二象性一样，现实存在中的物质必须要有一个量化的具体表现，而未显化的能量则是以完美的波的形式存在。

图13

从上面的比较我们可以看出，斐波那契数列后两项的比值越靠后就越接近黄金比例，可以说斐波那契螺旋是无限接近黄金螺旋的，它们之间的区别只是在最开始的时候比较明显，越往后越相似。

换一个比较容易理解的说法，斐波那契螺旋就是黄金螺旋在生命中的具体实现，所以多数时候我们把在现实中看到的这种螺旋统称为黄金螺旋也无不可。

大自然中的斐波那契

黄金螺旋有一个非常独特的特性——它的形状不会随着大小增长而改变。这个特性被称做自我相似性。自然界里许多生长现象都具有的特性。举个例子，当鹦鹉螺壳内的身体长大时，它会建成越来越大的外壳，把不用的小壳封起。每次外壳长度的增加都伴随着适当比例半径的增长，所以外壳形状保持不变。所以，鹦鹉螺一生中都只看到同一个“家”，不需要随着自身的长大进行调整以保持平衡。

图14

那么为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢？我们从下图的黄金矩形出发，将黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动1/2 个边长，依次类推，如图12，这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋，例如图中红矩形和蓝矩形之间的距离很小。有兴趣的读者不妨画图证明，任何其他矩形以这种方式自相似排列，都会重叠或者在平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于排满平面。

下图中黄金矩形的排列可看成黄金螺旋的离散化，如果将其收缩边缘连续起来，就会出现海螺的那种布满整个平面区域的黄金螺旋。也就是说，只有黄金螺旋这种“依次排列”的自相似才会占满平面区域。

图15

人类耳朵的形状也是符合“黄金螺旋”形状的。这种形状的构造帮助人类可以更好得接收音波，增强人类听觉。甚至人类耳朵的形状也是符合“黄金螺旋”形状的。这种形状的构造帮助人类可以更好得接收音波，增强人类听觉。

图16

人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置，如手指骨节，肘部，膝盖，颈部，腰腹等等（身体蜷缩时候，蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处），许多哺乳动物关节都具有这种特点，这都是生物经过几十亿年进化的结果，能让身体和四肢完全地蜷缩来抓住东西和自我保护，因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。

图17

符合这一特性还有公羊对数螺旋形状的角（虽然它们并不处于一个平面上），以及大象的象牙。随着本身的增长，黄金螺旋变得更大，从底部生长出的角上的“圈”之间的距离也随之变大。

图18

具体来说，转了相同角度以后，与底部的距离也随着相同的比率增长。如果我们在显微镜的帮助下，把这些肉眼看不到的圈扩大到如下图般大小，就会看见，它们完全符合螺旋线形状。

图19

大自然钟情于对数螺旋。从向日葵、海贝壳、旋涡到飓风和巨大的银河系，都像是自然选择了这个神奇的螺旋作为它喜爱的饰品。各种大小的对数螺旋在自然界里得到完美体现，无论是细小化石或是称做有孔虫类的单细胞生物，其形态都是如此。虽然在这个例子里的螺旋壳是复合结构（不是一个连续的管状），它们化石内部的X光线图显示这种形态的对数螺旋几千年都保持不变。

图20

当仔细观察向日葵的中心时，你会发现有一系列的螺旋形状。这些种子的摆放方式居然夸张地符合“黄金螺旋”的形状。对向日葵来说，以这种方式生长可以让种子之间自始至终没有丝毫缝隙。当仔细观察向日葵的中心时，你会发现有一系列的螺旋形状。这些种子的摆放方式居然夸张地符合“黄金螺旋”的形状。对向日葵来说，以这种方式生长可以让种子之间自始至终没有丝毫缝隙。

图21

在松树果球的结构中，“黄金螺旋”形状又出现了。“黄金螺旋”形状在植物的构造中十分常见。

图22

甚至像芦荟这样的多肉植物也会呈现出“黄金螺旋”的形状。植物以“黄金螺旋”的形式生长出新的细胞，然后就会呈现出这种形状。这种方式让植物的新生叶子与旧叶子互相之间不会相互遮挡太多，能最大程度地享用阳光和雨露。

图23

宇宙中的黄金螺旋

茫茫的宇宙中，隐藏着无数奥秘——被揭开的、不知晓的，其中之一就是许多物体都呈漩涡状，而且有的是黄金螺旋线。

黄金螺旋是基于黄金分割比。黄金螺旋总是以这个比例增加——螺旋每转四分之一圈，它就会变宽一倍φ。在这里，黄金螺旋正好与螺旋星系相吻合。

银河系有许多旋臂，围绕着一个厚度约为10000光年的中心核心。每个旋臂都有大约12度的对数螺旋。螺旋的形状和黄金螺旋是一样的，黄金矩形可以画在任何螺旋星系上。

图24

为什么如此众多的星系显示出螺旋形状呢？螺旋星系就如同我们的银河系，有一个相对较薄的银盘（就像薄烤饼），由气体、灰尘（细微颗粒）和星星组成。整个银河系的银盘围绕银河系中心旋转。例如，在太阳周闱，绕银河中心旋转的轨道速度是140英里／秒，完成一圈需要大约2.25亿年。离中心距离不同，速度也不同——近的快，远的慢——也就是说，银河系的银盘并不是整块旋转，而是分别以不同的速度运动。从正面看，螺旋星系在中心近旁生成螺旋臂，外围穿过星云向外扩散

图25

黄金螺线和“斐波那契螺线”，并没有本质的区别。太阳系本身就是一条斐波那契螺线，形成以太阳为中心的漩涡。

图26

提丢斯波得定则可以写成r=0.4+0.3e^0.11θ，θ取-∞，0，2π……图象是等角螺线，与Ⅹ轴的交点即行星到太阳的距离

事实上，斐波那契就说过：“与车轮不同的是，漩涡越趋中心速度越快。”例如，水星年（水星绕行太阳一周）等于地球年的88天，而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜·特威曼和鲍伊德·赖斯在《上帝之舟》一书中列举的事实，则更进一步：太阳与水星的距离，加上水星与金星距离，正好等于金星和地球的距离。

图27

还有某些飓风、云层的漩涡和著名的“澡盆漩涡”也都是黄金螺旋在自然的展现。澡盆漩涡，又叫“谢皮罗漩涡”——澡盆排水时，北涡是逆时针方向，南半球的漩涡是顺时针方向，赤道上不形成漩涡。澡盆漩涡由地球自转时产生的“科里奥利力”引起，是美国麻省理工学院机械工程系主任A．谢皮罗教授在1962年最早发现的。类似的漩涡还能从袅袅上升的炊烟和碧湖中轻轻荡开的涟漪中找到。