1900年，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了23个问题，这些问题几乎成为引领20世纪数学研究的纲领。百年过去，这23问中有一些已经得到解决，有些取得长足的进步，还有一部分完全没有解决。今年3月，两位印度数学家发表了他们关于希尔伯特第12问的最新研究，即关于数域上阿贝尔域扩张的构造问题，为这一问题的解决带来了曙光。实际上，关于数域扩张的研究已有近200年。本文将延续着这一路旅程，见证数学史上的伟大人物是如何一次又一次接过接力棒，迈向希尔伯特第12问。
数论，之所以被称为数学头顶最璀璨的王冠，是因为几乎所有数学的分支都可以用来处理数论问题。而其中最为主流的代数数论，便是从抽象代数结构的视点来分析数域的代数性质。代数学起源于对多项式方程的研究，解方程则对应着数域的扩张。这就使得数学家关注的重心从方程本身，转移到对域扩张的研究。其中最重要的一类扩张，称为阿贝尔扩张；这个概念在著名的希尔伯特23问中占有一席，第12问即是关于有理数域上阿贝尔扩张的构造方法是否可以拓展到其他数域。数学家在最近这一百年已经对阿贝尔扩张的性质有了非常深入的认识。如果能找到阿贝尔扩张的构造方法，就能拆解开数域神秘的外壳，理解其中运行的机制。
青年克罗内克的梦想
我们的故事开始于约两百年前的普鲁士王国。1823年，居住在李格尼茨（Liegnitz）的犹太人克罗内克（Kronecker）一家诞生了一个聪明的男孩，男孩名叫利奥波德（Leopold）。他所生长的这个城市历史悠久，从希腊时代起，便有人在此定居，此后数千年，它见证了宗教的兴起，骑士的衰落。数十年前，腓特烈大帝正是在此以少胜多，大败奥地利与俄国的联军。到了十九世纪，硝烟逐渐被冲淡，留下历史的厚重。或许是来自环境的熏陶，年幼的利奥波德·克罗内克对周围的一切产生了好奇。他爱好科学、历史与哲学，同时还是一名游泳健将。他的父母对教育极为重视，使他的这些爱好都得到了发扬。到了中学时代，他遇到了他的恩师与一生的挚友恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）。作为一名年轻的数学家，库默尔在代数与数论等领域已小有成就。他建议克罗内克深入学习数学。不过克罗内克此时还没有下定决心专心于数学。此后的几年中，他辗转于柏林大学、波恩大学等学校，兴趣使然地学习哲学、天文学与数学。毕业后，他返回家乡管理家业，投资经商；直到数年之后重返学术界，此时已经拥有了相当的家产。
利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891）经商期间，克罗内克也没有荒废数学的学习。不过对于他来说，数学属于忙了一天之后的消遣。他和库默尔的通讯也没有中断。虽然具体内容大多不得而知，但在此期间他们应该取得了一些成果。而当克罗内克重返江湖时，他很快就成为了当时欧洲顶尖的数学家。正是在克罗内克辗转求学这几年，法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）偶然发掘出埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）关于代数方程组的遗稿，使得伽罗瓦关于域扩张的工作为其他数学家所知。所谓域扩张，就是类似有理数域 扩大到复数域 的过程。我们一般把这二者及其之间的所有域称为数域。伽罗瓦的工作将域扩张与群论联系起来，他指出每个域扩张都对应于一个群。简单来说，域就是满足加减乘法，且只要不是除以 ，都可以做除法；而群则是对所有元素有乘法和除法。比如说对于域 与它的域扩张 ，我们就取所有 的置换，其中保持 不变的自同态映射（保持乘法结构的置换，也就是说乘积的映射等于映射的乘积）构成一个群，置换的叠加作为群的乘法，而置换总是有逆变换的，所以也有除法。这样的群称为伽罗瓦群 。伽罗瓦发现方程的根式解存在性对应于伽罗瓦群的可解性，从而彻底解决了代数方程根式解的问题。（关于伽罗瓦理论可参见《伽罗瓦理论究竟想干什么？》）那么也就是说，要研究域扩张，很多时候都只需要研究相应的伽罗瓦群就行了。而在各种各样的群当中，研究起来最方便的当属阿贝尔群。所谓阿贝尔群，就是那些元素之间满足乘法交换律 的群 。每个数学本科生或许都曾被这样简洁的定理所感动：任意有限生成的阿贝尔群，都可以被唯一分解为素数阶循环群的直和；而这里的循环群，则是最为简单的群：即使是没有受过数学训练，对群论知之甚少的读者，也可以大概这样理解：我们对于阿贝尔群基本上知根知底。那么要是能将阿贝尔群的知识运用于相应的域扩张，即阿贝尔扩张，那想必会带来更多美妙的结果。年轻的克罗内克也痴迷于伽罗瓦理论带来的广阔世界。他并不觉得五次方程可解性问题就是群论与域论的终点。相反，对于域扩张的探索才刚刚开始。他很快就注意到了一些与阿贝尔扩张有关的奇特现象。最简单的高次多项式方程，自然就是 这样，它有 个解，为 ，分布在复数平面的单位圆上。如下图就是 的所有解。
如果要从有理数域 开始扩张，使得 的所有根都包含在扩域之中，这样的域叫作分圆域；相当于往 里面添加了 之后得到的最小的域，写作 。对于任意多项式，也可以做这样的操作，所得的扩域叫作分裂域。分圆域对应的伽罗瓦群正是一个相当简单的阿贝尔群： ，即模 等价类中，与 互素的数组成的乘法群。克罗内克发现了一个神奇的现象：如果从 开始做任意阿贝尔扩张，那么扩域 似乎总是包含在某个分圆域中！但要真正证明这一结论，却困难重重。很长时间，克罗内克都不能得到完整的思路。他在晚年与戴德金（Richard Dedekind）的通信中提到，解决这一问题是他“青年时代最为热切的梦想”（liebster Jugendtraum）。1853年，克罗内克发表了他对这一结论的证明。遗憾的是，他的方法并不是对所有阿贝尔扩张都适用。这一错误很快就被指出，但是克罗内克本人也并没有想出别的办法。一直到1886年，海因里希·马丁·韦伯（Heinrich Martin Weber）才给出了新的证明，并被大多数人接受。1891年，克罗内克与世长辞，或许他已经满足于这个结果。一直到100年后的1981年，才有数学家发现，韦伯的证明包含了一些错误，所以也不能成立。当然，它最终还是被证明了。我们今天称之为克罗内克-韦伯定理的结论，其实是由希尔伯特证明的。
希尔伯特与世纪之交的代数数论
正如同克罗内克的故乡，如今已经被划为波兰的领土；希尔伯特出生的城市柯尼斯堡，也在二战之后成为苏联的一部分，改名叫加里宁格勒。在希尔伯特成长的年代，柯尼斯堡仍是一座传统的德国城市，人们以康德为荣，崇尚思考的艺术。而希尔伯特也很早发现了自己对于数学的热衷，走上了数学了道路。他四处游历，吸收新思想，成为欧洲数学的新星。
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）19世纪末，数学发生了翻天覆地的变化，其研究方法的严格性，抽象性都经历了质的飞跃。希尔伯特当然也拜访了当时德高望重的克罗内克。不过他惊讶地发现，克罗内克对于新的数学并没有太大兴趣：他反对康托尔的集合论，也对非构造的代数证明法持保留意见。几年之后，克罗内克与世长辞，在他死后的1896年，希尔伯特给出了他对于克罗内克-韦伯定理的证明。此时数学家们还没有发现韦伯证明中的错误，而希尔伯特本人也认为，自己只是给出了一个较为简单的证法而以。不过现在看来，是希尔伯特首先证明了这个定理。但是希尔伯特并没有止步于此。克罗内克思考的问题仅仅是有理数域 的扩张，那对于别的数域呢？这一问题即是希尔伯特23个问题中第12个问题的原型。到希尔伯特为止，对于数域的研究已经进行了近百年。数学家们特别关心的数域是代数数域：比如说 ，里面任何一个元素，例如 ，都是某一个多项式的根，这里就是 的根。代数数域是代数对象，而多项式则是数论的研究对象，如此催生了代数数论这一门“交叉学科”，数学家们为了研究代数数域的性质而踏上了激动人心的旅程。高斯，库默尔，克罗内克等人都研究过代数数域，得到了一些初步的结果。希尔伯特深入研究了一种情况：所谓的虚二次域 ，其中 为复数。他似乎发现虚二次域的阿贝尔扩张可以通过椭圆模函数来生成。希尔伯特在1900年的巴黎会议上发表了他著名的23个问题。由于时间关系，他只在现场叙述了其中的10个，关于数域的阿贝尔扩张的问题并没有包含在这10个当中。我们今天读到的希尔伯特第12问，是会议之后发表的。这个问题描述相当模糊，而且会产生不少误导——后来数学家们证明，虚二次域的阿贝尔扩张与椭圆模函数其实并没有多大关系。即便如此，希尔伯特的思考仍然产生了重要的影响。希尔伯特的思考并不是孤立的。他同时也在研究阿贝尔扩张的性质。由欧拉、高斯等先贤开创的对二次互反律的研究，在希尔伯特这里有了更加现代的形式。他发现，这些性质本质上都与阿贝尔扩张有关，并提出了一系列猜想。此时希尔伯特任教的哥廷根大学正如日中天，汇聚了来自世界各地的青年才俊。其中有一个人沿着希尔伯特的猜想走了下去，他就是日本现代数学的先驱——高木贞治。
高木贞治（Teiji Takagi，1875-1960）十九世纪末的日本正受到西方文明的强烈冲击。江户时代的本土数学流派“和算”曾大放异彩，但到了明治维新之前，已然衰落了。在全面学习西方的浪潮下，日本建立了一系列“帝国大学”，热爱数学的高木贞治便进入了其中最富盛名的东京帝国大学。这所大学在此后的一百年会源源不断地培养顶尖数学家，不过在高木贞治的学生时代，还并没有领先世界的研究。他在毕业后，前往德国深造，曾在柏林接受过佛罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius）等人的教导，最终来到哥廷根，深感自己弗如希尔伯特远甚。最终他在希尔伯特门下获得了博士学位，毕业后回到东京帝国大学任教。在一战的疯狂岁月中，高木静心研究希尔伯特的代数数论。他于1920年发表了著名的高木存在定理，将阿贝尔扩张与基域的理想类群之间建立起了深刻联系。这项工作被埃米尔·阿廷（Emil Artin）等数学家发扬光大，从此一门被称为类域论的研究诞生，这套理论已经能相当完善地处理阿贝尔扩张。今天每一名想要学习代数数论的研究生都需要学习高木的理论，所有这些工作都只对阿贝尔扩张有效，可以想见阿贝尔扩张的重要性。但是对希尔伯特第12问本身而言，进展仍然极为缓慢，还需要新的思想、新的工具。
函数与 -进数带来的新数学
纳粹的种族政策让欧洲数学家大批移民，,哥廷根学派也因此分崩离析。诺特（Emmy Noether），柯朗（Richard Courant），外尔（Hermann Weyl）等巨擘前往新大陆，这也使美国在二战后成为了世界数学的中心。世界发生了翻天覆地的变化，新的数学也迎来了黎明。算术几何，同调代数等新兴学科为代数数论注入了新鲜的血液，而希尔伯特第12问也产生了不同的分支方向。既然希尔伯特对虚二次域的讨论走向了死路，数学家们就只好重新搜索思路。希尔伯特的最终目标，是要构造任意域的阿贝尔扩张。但一次性给出普适的结果实在是不太现实，所以希尔伯特本人也只能从虚二次域入手。这样，对希尔伯特第12问的研究，就只能从特定方法与特定的域入手。比如志村五郎和谷山丰的工作引向了对CM域的研究；而朗兰兹（Robert Langlands）则在他那著名的纲领中提议，应该着手于某种 函数。不过我们今天要讲的是另外一条线。美国数学家斯塔克（Harold Stark）于 上世纪70 年代提出了一种猜想，他发现阿贝尔扩张或许能通过阿廷 函数来构造。所谓 函数，是形如的级数，比如说黎曼 函数 ，定义在复平面上。这样的级数通常只在半平面上收敛，例如定义黎曼 函数的这个级数只对于 的实部大于 时收敛。而通过一种称为解析延拓的手段，可以将可导（复的可导就是解析）的函数定义域扩大到任何不是奇点的位置。这样就可以定义众多各不相同又各有所用的 函数，而阿廷 函数便是其中一种。早在19世纪，迪利克雷（Peter Dirichlet）和黎曼（Bernhard Riemann）就对此做了一些奠基性研究，他们发现 函数与数论之间存在深厚的联系，那么它能应用于希尔伯特之问也就没有那么意外了。这似乎相比希尔伯特最早的问题而言，具体了许多，也能进行数值计算。不过对于证明逻辑而言却没有提供多少思路。到此为止，数学家们都试图在复数域 中解决这个问题，他们思考的数域，也都是复数的子域。不过这并不是唯一的数域。二十世纪中叶，数学家们逐渐注意到 -进数的重要性。要理解 -进数，我们需要先看看 到 是怎么扩张的。 ，因为根号2不能写作两个整数的商。那么根号二究竟是什么呢？它其实是一个数列它满足所谓的柯西收敛准则，即当项数足够大时，任意两项之差足够小。因此根号2就是一个柯西列，收敛于 。我们就可以直接把 等同于上述这个数列。当然，可能会有两个序列收敛于同一个数，那样就定义两个数列等价。而所谓的 ，其实就是所有柯西列的集合。柯西列之间也可以加减乘除，所以 构成一个域。上述过程称为完备化： 虽然是稠密的，但其中却存在“小洞”，而扩张到 则填满了这些“洞”。那么给 “填坑”的这个操作是否是唯一的呢？我们仔细观察，填坑的过程取决于柯西列的定义，而柯西列又要求数列末端的项之间距离要小。什么是距离小？我们平常所用的距离，称为绝对值距离 。距离的定义需要满足几条公理，不过这对于理解距离并不重要。重要的是，并不是非得这样定义距离。假如我们定义任何两个不同点之间的距离 ，这也是一种（平凡的）距离定义。
库尔特·亨泽尔（Kurt Hensel，1861-1941）德国数学家亨泽尔（Kurt Hensel）于 1897 年试图将幂级数的思想引入到数论中，而创造了 进数的概念。这是一种新的距离定义，对于素数 和有理数 ，定义 -进赋值也就是说，对于两个整数，如果他们的差包含 的更高次方的因子，那么他们的距离就越近。这样相当于将整数的同余性质变成了一种分析性质。按这样的距离，取柯西列，得到的完备化就是 -进数域 了。如果 不是素数，其实也可以进行完备化，但是得到的集合就不再是域了。-进数与实数一样，都可以在上面做极限、做微积分，整套分析理论都可以搬过去。亨泽尔把库默尔的一些工作翻译成了 -进数语言，但并没有得到真正深刻的结论。他的研究也在很长时间内没有受到重视。1964年，日本数学家久保田富雄与德国数学家海因里希-沃夫冈·利奥波德（Heinrich Wolfgang Leopold）首先构造了一个 -进 函数。这一思路为解析数论和代数数论带来了有力的工具。那么是否有可能通过 -进 函数来实现斯塔克的猜想呢？格罗斯（Benedict Gross）正是这么想的。他试图将斯塔克的猜想放到 -进数域中来考虑。一开始这看起来跟史塔克的猜想难度相当，但是经过一代又一代的接力，现在已经取得了重大突破。2021年三月，两名印度数学家，Samit Dasgupta 和 Mahesh Kakde 发表了他们对希尔伯特第12问的部分回答。他们使用 -进 函数解决了全实域上阿贝尔扩张的构造问题。所谓全实域，就是说当我们把这个域嵌入到 中，它一定是实数域的子域。这是一种比较容易处理的域，但对于他们所研究的问题而言也极为困难。两名数学家的学术生涯基本上都在跟这个问题打交道。其中 Dasgupta 的导师的导师，正是格罗斯。他从博士开始就在研究格罗斯的问题，直到去年，他们才取得了关键突破。如今，这段旅程终于迎来里程碑，人类对于阿贝尔扩张的理解又向前迈进了一步。这项成果不仅来自两人的合作，也来自几代数学家不懈的努力。不过，希尔伯特的问题还是没有完全得到回答。希尔伯特提出的问题，是建立在他自己对虚二次域研究上的。 上的 函数，是否能得到与 类似的结果呢？我们不得而知。同时，全实域也仅仅是一类特殊的数域。
今天的数学已经超越了希尔伯特的希冀，但又没有完全达到他的期望。不过这也正是数学的魅力所在：我们永远无法预测下一个突破将在何处出现。
[1] Houston-Edwards, Kelsey (2021-05-25). "Mathematicians Find Long-Sought Building Blocks for Special Polynomials". Quanta Magazine.
[2] Schappacher, Norbert (1998). "On the history of Hilbert's twelfth problem: a comedy of errors". Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle (Nice, 1996). Sémin. Congr. 3. Paris: Société Mathématique de France. pp. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. MR 1640262. Zbl 1044.01530.
