点点滴滴之抛物线（三）

已知抛物线C:y²=2px(p>0),过定点M（m,0）的直线l与抛物线C交于A,B不同两点，点A关于x轴的对称点为A₁, 且点A₁与点B不重合，证明：直线A₁B过定点.

证明：如图

因为点A₁与点B不重合，所以直线l的斜率存在且不为0.

设直线l的方程为：y=k(x-m)(k≠0), 点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则A₁(x₁,-y₁)

所以A₁B直线过定点（-m,0）.

即：过定点M（m,0）的直线l与抛物线C:y²=2px(p>0),交于A,B不同两点，点A关于x轴的对称点为A₁, 且点A₁与点B不重合，则直线A₁B过定点（-m,0）.

特殊的，当m<0时,直线l的极限情况，点A,B重合，即直线l与抛物线C相切于点A(B)，此时直线A₁B与x轴垂直，由上述结论猜测切点A(B)的横坐标为-m.

即切点A(B)的横坐标为-m.

因此, 过定点M（m,0）（m<0）的直线l与抛物线C:y²=2px(p>0)相切于点A，则切点A的横坐标为-m.

反之若抛物线C:y²=2px(p>0)在点A（m,y₀）处的切线为l，则切线l在x轴上的截距为-m.

证明：由抛物线的对称性，不防设y>0

所以结论成立.

如下图:

当直线l与抛物线C:y²=2px(p>0)交切于点A（B）时，由上述结论显然OD为△MEA的中位线，由此猜测：过y轴上一定点D（0，t）（t≠0）的直线l与抛物线C:y²=2px(p>0)相切于点A（A不与O重合），则切点A的纵坐标为2t.

证明：设直线l的方程为：y=kx+t (t≠0), 切点A(x₀,y₀)