过去的 250 年间，音乐一直是数学家的灵感源泉，他们在这眼泉水里总能找到非常特别的问题，让自己的头脑保持工作状态。其中，最著名的可能就是“振动弦”（vibrating string）的问题。18世纪，这个问题成为某些最伟大的数学家之间相互对垒的议题，而与此相关的争论持续了 50 多年，最终导致了后微积分时代的数学发展。但是，数学是否对音乐也产生了同样的影响呢？显而易见，数学对音乐的技术层面有更多的发言权，例如对乐器的音调，或者如何设计音乐厅使其实现最完美的声响效果等。然而，对作为艺术的音乐而言，除了一些特例，数学产生的影响相当有限；这两个学科都各自遵循着自身的发展规律。这种认为两者相互独立的典型观点，可以参考莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）关于音乐理论的诸多论述，尽管有人指出，“对音乐家来说，它包含的几何知识过于庞杂，而在几何学家看来，它囊括的音乐知识又太过繁复”。2 >>>>>>>>>>我在一个热爱欧洲文化——文学、艺术和音乐的家庭中长大。我的父母都没有受过音乐训练，使我对科学和音乐保持终生热爱的实际上是我的外祖父。我有一张他的照片，当时我大约五岁，照片中他正为我演奏小提琴。在这张由我母亲拍摄的照片背面，她写上了那首外祖父为我演奏的歌曲的名字——《可爱的月亮，你走得如此安详》（Guter Mond, du gehst so stille），这是一首传统的德国摇篮曲。那成为我人生中的第一场现场演出，时至今日，往昔的情景依旧历历在目。直到有一天，外祖父告诉我说他必须和小提琴说再见了——他迫切地需要钱。顷刻，我泪流满面。另外，我还有一本外祖父在中学学习时用过的物理书。他肯定非常认真地研读过这本书，因为几乎每一页都有他手写的注释。我们会一起坐上好几个小时，他向我解释各种各样的东西，这是我接受的最早的科学启蒙。我至今还保存着这本书，并视若珍宝。
（《物理学基础》（Grundrifs der Physik）的扉页和首页）20世纪40年代，战争的阴云笼罩着世界，但我的父母仍偶尔在位于特拉维夫的家中播放古典音乐来款待客人。他们用一个机械转盘，也就是留声机，来播放黑胶唱片，录音规格为78转/分。我是多么喜欢这些时光啊！留声机必须使用一个较大的曲柄，也就是通常所说的“曼努埃拉”（manuela），需要用手将它摇上一阵，才能让留声机转上大约10分钟，这点时间刚好够播完唱片的两个面。如果你没有及时上足发条，转盘就会慢下来，而音乐的节奏随之减缓，音高降低。一首时长40分钟的贝多芬的交响曲需要五六张此类唱片，它们一般被存放在一本看上去像老式相册（album）的夹子里（现在常用来指代歌曲专辑的“album”一词可能就来源于这种老式唱片册）。每本唱片册都像上千页的微积分教科书那么重！切记，切记！千万不要让哪张唱片从夹子里滑出来，它会在地板上跌成碎片。但是，播放唱片时，唱针才是最需要关注的。每播放十几个小时，就应该更换一下唱针，否则它会变钝，并损伤唱片的音槽。唱针由铬制成，而在战争期间，铬的供应受到严格限制。不过好在很快，替代品——木制唱针就出现了！不消说（此处不含有任何双关意义），木制唱针播放出来的声音异常沙哑，但正是这种声音带给我古典音乐的启蒙。3>>>>>>>>>>“每个聪明的音乐家都应该熟悉他的艺术背后所隐含的物理定律。”在我们的时代也出现了某些改变，几位作曲家将他们的音乐建立在数学定律之上，都取得了不同程度的成功。他们中的佼佼者就是勋伯格。此外，我还要提到伊阿尼斯·泽纳基斯（Iannis Xenakis，1922—2001）和卡尔海因茨·施托克豪森（Karlheinz Stockhausen，1928—2007）。前者在改行做音乐前，曾接受土木工程师和建筑师的专业训练，他在自己的音乐作品中用到了随机理论（stochastic principles）；整体看来，他的曲谱充斥着扭曲的图形和线条，而不是那种传统乐谱里的音符和五线谱。在最初的一段时间里，他们的作品受到了富有先锋主义精神的听众的热烈欢迎。但是，这些作品能否被古典音乐的主流接纳，尚待观察。
（毕达哥拉斯实验不同的发声物体）数学和音乐，这两个领域拥有如此多的相似之处，但彼此之间又保持着一定的距离。本书所讲的，正是关于这种相互关系的故事。这绝不是一本想对此做全面历史回顾的书，也不是一本关于音乐的数学物理教程，这类教材已经有很多优秀的代表。相反，我想做的只是从历史的角度来审视一下音乐和数学之间的亲密关系，着眼于那些真实发生过的事情，以及故事背后的人物——那些科学家、发明家、作曲家，以及偶尔出现的怪人。尽管在某些事情上，一些读者可能会提出反对意见，但是，我并不因此而羞于表达自己的观点，例如通常与音乐声调的设定相关的情感属性。在我看来，它们有些被过度夸大了。本书适合那些对数学、音乐和科学感兴趣的普通读者，书中没有任何超出高中代数和三角学的数学要求。但是，如果读者具备音乐符号的基本知识的话，会比较有助于阅读。然而，最后需要指出，所有将数学与音乐联系在一起的尝试，实质上都是受到限制的，因为这两个领域的目标相互矛盾：数学，以及更广泛意义上的科学，其目标是激发我们的智慧和以客观、逻辑的方式分析抽象模式及关系的能力；而音乐，则致力于触摸我们的心灵，唤醒我们对声音、节奏、时间和听觉模式的情感反应。在这里，让我们借用亚利桑那州凤凰城乐器博物馆（Musical Instrument Museum）的一句迎客辞：“音乐是灵魂的语言（Music is the language of the soul）。”4 >>>>>>>>>>任何像这样的有关跨学科主题的讨论，都难免会涉及几个相邻的领域。不言而喻，物理定律无论是在音乐领域，还是在天文领域都发挥着作用——从毕达哥拉斯信奉行星的轨道是由音乐般和谐的定律控制，一直到19世纪晚期，人们发现行星及其卫星的运行轨道间存在共振现象，并且这种共振通常具有常用的音乐音程比例。我们或许还要提及人们最近在星系之间的广袤空间中所检测到的声波，它们具有特定的波长和音高，这也许反映了像古老寓言一样的《宇宙音乐》（Music of the Spheres）的轮回。
