【八年级】怎样解一次函数中的有关方案问题？
一次函数中的有关方案问题语言叙述较多，数据量较大，给同学们的审题、解题带来很多不便，造成解题失误较多．这里向同学们介绍三种处理这类问题的方法，供同学们参考．
一、直译法
即将题中的关键语句“译”成代数式找出函数关系，列出一次函数解析式，从而解决问题的方法．
例1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为促销制定了两种优惠办法．
甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；
乙：按购买金额打九折付款．
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本.
(1) 写出每种优惠办法实际付款金额y甲（元）、 y乙（元）与（本）之间的函数关系式；
(2) 比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱；
(3) 如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买．请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．
分析：本题根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，从而列出一次函数关系式即可．
解：（1）y甲=5x+200(x≥10)； y乙=4.5x+225(x≥10).
（2）由（1），有 y甲- y乙=0.5x-25．
若y甲－ y乙=0，解得x=50；若y甲－y乙＞0，解得x＞50；若y甲－y乙＜0，解得x＜50.
∴当购买50本书法练习本时，用两种优惠办法购买的实际付款数一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10——50之间时，选择优惠办法甲付款省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款省钱．
（3）选择优惠办法甲购买10支毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．
说明：本题属于“计算、比较、择优型”，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了优惠方案的设计问题．
二、列表法
列表法就是将题目中各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于找函数关系．（即列出表格进行分析，找出函数关系列出一次函数解析式）．
例2.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料
9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；
(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?
分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙种原料的数量、生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润，为了清楚地整理题目所涉及的各个信息，我们采用如下的列表法．
说明：本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题．
因为x是整数，所以x只取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18．
所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A种产品30件，B种产品20件；第二种生产方案：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种生产方案：生产A种产品32件，B种产品18件．
(2)设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x．由题意得
y=700x+1200(50-x)=-500x+6000．(其中x只能取30，31，32)．
因为 -500<0, 所以 此一次函数y随x的增大而减小，
所以 当x=30时，y的值最大．
因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：-500·3+6000=4500(元)．
三、图示法
即用图形来表示题中的数量关系，从而观察找出函数关系，此法对于有关一次函数问题非常有效，直观明了．
例3.某市的C县和D 县上个月发生水灾，急需救灾物质10吨和8吨．该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物质12吨和6吨，全部赠给C县和D 县．已知A、B两县运货到C、D两县的运费（元/吨）如表所示：
(1)设B县运到C县的救灾物质为x吨，求总运费w关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方法．
分析：本题中所给的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息．
解：（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]=-40x+980.
自变量X的取值范围是:0≤x≤6.
（2）由（1）可知，w随x增大而减少，∴当x=6时，总运费最低．最低总运费
w=-40×6+980=740（元）．
此时的调运方案是：把B县的6吨全部运到C县，再从A县运4吨到C县，A县余下的8吨全部运到D县．
说明：本题运用了函数思想得出了总运费W与变量x的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题．并求出了最低运费价．