「初中数学」45度角与“12345“模型
关于45°的处理策略在前面的文章中着重介绍了构造等腰直角三角形或构造“K”字型。本期将继续复习巩固上述策略，并在此基础上简单介绍“12345”模型。
一、复习巩固
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠C=45°，AB=AD，AE⊥BC于E，求证：BC=2AE.
解法一：构造”K“字型.
作DH⊥BC，AF⊥DH，BG⊥AF
易证△ABG≌△ADF
∴GB=AF，AG=FD
又∵四边形GBEA,四边形AEHF均为矩形
∴GB=AE=AF=EH=FH
∵FH=FD+DH=GA+HC=BE+HC
∴BC=BE+HC+EH=AE+AE=2AE
解法二：构造变异”K“字型
作DH⊥BC，DF⊥AE
易证AE=FD=EH,BE=AF,FE=DH=HC
∵AE=AF+FE=BE+HC
∴BC=BE+HC+EH=AE+AE=2AE
显然构造变异的”K“字型比构造'K”字型更为简洁。但这两种解法本质相同，下面再介绍另一种截然不同的解法。
解法三：构造中位线
分析：构造△BCD的中位线FH，则BC=2FH，这样只需证△AEH≌△HDF.
证明：作△DBC的中位线HF，连接AH
∵AB=AD,H为BD中点，∠BAD=90°
∴AH⊥BD，AH=DH
∵AE⊥BC
∴A,B,E,H四点在以AB为直径的圆上
∴∠1=∠2，∠ABH=∠AEH
∵HF∥BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
又∵∠ABH=∠C=45°，∠C=DFH
∴∠AEH=∠DFH
∴△AEH≌△HDF
∴AE=HF
∵BC=2HF
∴BC=2AE
【例2】如图,在平面直角坐标系中A（0，4），B（0，-6），P（m,0）(m>0),∠APB=45°，求m的值。
解法一：构造变异的“K'字型或构造”K“字型
作CA⊥AP，交PB的延长线于点C，作CF⊥AB,作AE平行x轴，PE⊥AE。
易证△APE≌△ACF，得AO=PE=CF=4，PO=AE=AF=m,
由△BOP∽△BFC
OB:OF=OP:CF
解法二：在x轴上分别取一点E、F，使OA=OE，OB=OF，连接AE,BF
∵∠1+∠3=45°，∠1+∠2=45°
∴∠2=∠3
同理，∠1=∠4
∴△AEP∽△PFB
如此巧妙地构造相似，为研题者们提供了一种崭新的思路。
二、模型介绍
【定义】狭义的12345模型：
根据高中的两角和诱导公式，对于上述三个式子，满足任意两个式子，可推出第三个式子(α、β为锐角)，即：①②→③，①③→②，②③→①。
这里的1/2,1/3，45°简称为12345.。
【原理】下面的两幅图解可助初中生了解该模型原理。
如图1，已知tanα=1/2，∠PAE=45°，可得tanβ=1/3
如图2，已知tanα=1/2,tanβ=1/3,可得△APE为等腰直角三角形，进而推出α+β=45°
模型应用：
【例1】(2015湖北十堰中考题)如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在AB,AD上若CE=3√5，且∠ECF=45°，则CF的长为____.
解法一：12345模型
∵tanα=1/2，α+β=45°，
∴tanβ=1/3
（注意：不可直接用此结论做中考解答题！）
∴DF=2，CF=2√10
解法二：构造”K“字型或变异”K“字型
如图，构造”K“字型全等及8字型相似，有CF：FG=2：1可得CF=2√10
解法三：构造”半角“模型
如图，构造旋转式全等及轴对称式全等，由勾股定理可计算出x。
【解题感悟】
四十五度有诀窍，
等腰直角少不了。
K字模型及变异，
还有12345与半角。