微积分的力量从宇宙的深奥谜题，到科技的发明创造，再到日常的衣食住行，微积分的力量无处不在。作者[美] 史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz）译者任烨微积分的力量：世界被一个神秘的数学分支彻底改变了作品简介微积分是人类历史上的伟大思想成就之一，也是数学领域不可或缺的一个重要分支。除此之外，我们更应该关注的事实是：如果没有微积分，人类就不可能发明电视、微波炉、移动电话、GPS、激光视力矫正手术、孕妇超声检查，也不可能发现冥王星、破解人类基因组、治疗艾滋病，以及弄明白如何把5000首歌曲装进口袋里。在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的“钥匙”打开了宇宙奥秘之“锁”？这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活又产生了什么样的深远影响？在本书中，应用数学家兼“导游”斯托加茨将用一种“讲故事”和“看展览”的方式为你逐一揭晓答案。“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释你们需要了解的关于微积分的知识。我也会给你们介绍有史以来颇为精致的一些方程和证明，就像我们在参观画展的时候不会错过其中的代表作一样。”在高中和大学时期，尽管我们中的许多人都对这门课程退避三舍，但斯托加茨用一种新颖独特和接地气儿的方式给我们讲述了微积分的历史。相信在读完本书后，我们都会对微积分有更加立体生动的认知，就像欣赏名画、名曲那样发现微积分之美。史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz），美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。他为《纽约时报》《纽约客》写作数学博客，也是美国科普电台、《科学星期五》的常驻嘉宾。他的主要代表作有《x的奇幻之旅》。他目前住在纽约伊萨卡。收起作品目录引言第1章 无穷的故事第2章 驾驭无穷的勇士第3章 运动定律的探索之旅第4章 微分学的黎明第5章 微积分的十字路口第6章 变化率和导数第7章 隐秘的源泉第8章 思维的虚构产物第9章 宇宙的逻辑第10章 波、微波炉和脑成像第11章 微积分的未来结语致谢收起评论1原文：可以把任何曲线都表示成无穷多条简单曲线（用变量x的幂来描述，比如x\(^{2}\)、x\(^{3}\)、x\展开上下文这个不是泰勒展开吗？00分享许乐04-26添加批注更多评论 1来自豆瓣读书的评论12有用最新
人类如何接近“宇宙无限”？中信出版鹦鹉螺新年档期，皮克斯工作室出品的动画电影《心灵奇旅》成了朋友圈的热门话题，豆瓣网友更是毫不吝啬地给出了8.9的高分，踊跃贡献14万+条短评。 除了立意新、歌好听，同样经...2021-01-120回应8赞中信出版集团2021版
谁说数学无用？暗夜花儿开谁说数学无用？ 我还记得很多年前我在高中读书的时候，当时文理分科，我学的是理科。我记得当时的化学课正好学到有机化学，这就和平时生活中的香皂、洗发水什么的联系在...2021-05-050回应5赞中信出版集团2021版
非常的浪漫，超级感慨！长魂歌好看！开篇第一章节讲到”圆“的时候就直接抓住心智，可以说是非常迷人了，措辞也非常的浪漫，超级感慨！几何能被描述的又精彩又可爱！ 这本书真的是好看的！哪怕单纯从...2021-01-260回应3赞中信出版集团2021版
数学之美学富五车莫小贝我一直认为数学是一门非常美丽、和谐的学科，代数和几何宛如双子星般交相辉映。读完这本《微积分的力量》，果然又让我深深地加深了这种想法。作者用很科普的方式，讲述...2021-04-050回应2赞中信出版集团2021版
上帝的语言杨冬对我来说，微积分是我念大学时最困难的一门课程了。本来到高中的时候，已经学习极限的基本知识，自以为理解得不错。但是，到了大一时上《高等数学》这门课时，才发现自...2021-03-290回应1赞中信出版集团2021版
感受微积分的美与力淇奥书名的英文直译是“无穷的力量——微积分是怎样揭示宇宙的秘密的”。说实话，从看到这个书名开始，我就知道它是数学爱好者们的一场盛宴。正如作者在书中写到的，“我写...2021-03-280回应1赞中信出版集团2021版更多评论 12热门划线“微积分是上帝的语言”2 人微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学。重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。2 人无穷原则为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象（不管它看起来有多么狂野和复杂），把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物，分析这些部分，然后把结果加在一起，就能理解最初的那个整体。2 人为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象（不管它看起来有多么狂野和复杂），把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物，分析这些部分，然后把结果加在一起，就能理解最初的那个整体。2 人微积分就是在这样的背景下诞生的，它萌生于几何学家对圆度的好奇心和挫败感。2 人有些几何学家坚持认为“曲线事实上是由平直部件构成的”，这种观点带来了突破性进展。尽管这不是事实，但我们可以假装它是真的。那么，唯一的问题就在于，这些部件必须无穷小，而且数量无穷多。通过这个巧妙的构思，积分学诞生了，这是人们对无穷原则的最早应用。2 人当速度改变而且是持续不断地改变时，一切都变得不确定了。事实证明，运动跟曲线一样，也是一座概念上的珠穆朗玛峰。2 人他先是解决了微积分的“圣杯”问题，发现了将曲线的各个部件重新组合起来的方法，而且是简单、快速和系统性的方法。通过把代数的符号与无穷的力量结合起来，他找到了一种方法，可以把任何曲线都表示成无穷多条简单曲线（用变量x的幂来描述，比如x\(^{2}\)、x\(^{3}\)、x\(^{4}\)等）的和。2 人可以把任何曲线都表示成无穷多条简单曲线（用变量x的幂来描述，比如x\(^{2}\)、x\(^{3}\)、x\(^{4}\)等）的和。2 人喜欢这本书的人也喜欢
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假如你跳进一个黑洞里[美] 科迪·卡西迪 等王思明译9.99元【编者按】微积分是人类历史上的伟大思想成就之一，也是数学领域不可或缺的一个重要分支。而我们应该知道的事实是：如果没有微积分，人类就不可能发明电视、微波炉、移动电话、GPS、激光视力矫正手术、孕妇超声检查，也不可能发现冥王星、破解人类基因组、治疗艾滋病，以及弄明白如何把5000首歌曲装进口袋里。在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的“钥匙”打开了宇宙奥秘之“锁”？这些谜题的解决方案又对人类文明的进程和我们的日常生活产生了什么样的深远影响？在《微积分的力量》一书中，应用数学家斯托加茨用一种“讲故事”和“看展览”的方式讲述微积分，“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。”【引言】没有微积分，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查，以及为迷路的旅行者导航的GPS（全球定位系统）。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球，甚至有可能无缘于《独立宣言》。有一种罕见而有趣的历史观点认为，世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个最初与形状相关的理论，最终又如何重塑了文明？我们可以从物理学家理查德·费曼的一句妙语中洞见这个问题的答案，这句话是他在与小说家赫尔曼·沃克讨论曼哈顿计划时说的。当时沃克正在为他计划写作的一部关于“二战”的长篇小说做调研，他去加州理工学院采访了参与过原子弹研发的物理学家，费曼就是其中之一。采访结束临别之际，费曼问沃克是否了解微积分。沃克坦承他并不了解，于是费曼说道：“你最好学学微积分，它是上帝的语言。”宇宙是高度数学化的，但原因尚无人知晓。这或许是包含我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式，因为非数学化的宇宙无法庇护能够提出这个问题的智慧生命。无论如何，一个神秘且不可思议的事实是，我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异，或者某个事物在这一点和在与该点无限接近的下一个点之间的差异。尽管细节会随着我们探讨的具体内容而有所不同，但自然律的结构总是相同的。这个令人惊叹的说法也可以表述为，似乎存在着某种类似宇宙密码的东西，即一个能让万物时时处处不断变化的操作系统。微积分利用了这种规则，并将其表述出来。艾萨克·牛顿是最早瞥见这一宇宙奥秘的人。他发现行星的轨道、潮汐的韵律和炮弹的弹道都可以用一组微分方程来描述、解释和预测。如今，我们把这些方程称为牛顿运动定律和万有引力定律。自牛顿以来，每当有新的宇宙奥秘被揭开，我们就会发现同样的模式一直有效。从古老的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有无生命的东西都遵从微分方程的规则。我敢打赌，这就是费曼说“微积分是上帝的语言”时想要表达的意思。如果有什么东西称得上宇宙的奥秘，那么非微积分莫属。人类在不经意间发现了这种奇怪的语言（先是在几何学的隐秘角落里，后来是在宇宙密码中），然后学会熟练地运用它，并破译了它的习语和微妙之处，最终利用它的预测能力去重构世界。这是本书的中心论点。如果这个论点是正确的，那么它意味着关于生命、宇宙和万物的终极问题的答案并不是42，为此我要向道格拉斯·亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉。但“深思”（《银河系漫游指南》中的一台超级计算机）的解题思路是正确的，因为宇宙的奥秘确实是一系列数学问题。1、写给每个人的微积分读物费曼的那句妙语“微积分是上帝的语言”，引出了许多深奥的问题。什么是微积分？人类如何断定它是上帝的语言（或者说，宇宙基于这种语言在运转）？什么是微分方程？在牛顿的时代和我们的时代，微分方程为世界带来了什么？最后，这些故事和观点如何能被有趣且清楚易懂地传达给像赫尔曼·沃克那样的友善读者呢，他们勤于思考、充满好奇心、知识渊博但几乎没有学过高等数学？沃克在他与费曼邂逅故事的结尾部分写道，他在14年里始终没有抽出时间学习微积分。他的关于“二战”的长篇小说从原计划的一部变成了两部——《战争风云》和《战争与回忆》，每部都长达1000页左右。在完成这两部小说后，他试图通过阅读像《微积分一点通》这样的书自学微积分，但效果并不好。他翻阅了几本教科书，用他自己的话说，就是希望“遇到一本合适的书，它可以帮助像我这样对数学几乎一窍不通的人。我在青少年时期产生了探寻存在之意义的渴求，大学期间就只学习了文学与哲学等人文学科，所以我并不知道别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是上帝的语言”。在发现自己看不懂教科书之后，他聘请了一位以色列的数学家教，希望能跟着他学点儿微积分，顺便提升一下希伯来语口语水平，但这两个愿望都落空了。最后，绝望的他旁听了高中的微积分课程，但因为进度落后太多，几个月后他不得不放弃。在他走出教室时，孩子们一起为他鼓掌，他说这就像对一场可怜的表演报以同情的掌声。我之所以写作本书，就是为了让每个人都能了解关于微积分的最精彩的思想和故事。我们没必要采用赫尔曼·沃克的方法去学习人类历史上这个具有里程碑意义的学科，尽管微积分是人类最具启迪性的集体成就之一。我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释我们需要了解的一切。我也会给你们介绍有史以来最精致的一些方程和证明，就像我们在参观画廊的时候不会错过其中的代表作一样。至于赫尔曼·沃克，在我写作本书的时候，他已经103 岁了。我不知道他有没有学会微积分，如果还没有，这本书就很适合沃克先生。2、由微积分主宰的世界现在你应该很清楚，我将从应用数学家的角度讲述微积分的故事和重要性。而数学史家则会选择不同的角度，纯粹数学家亦然。作为一名应用数学家，真正吸引我的是我们周围的现实世界和我们头脑中的理想世界之间的相互作用。外界的现象引导着我们提出数学问题；反过来，我们的数学想象有时也会预言现实世界中的事情。当这一切真正发生时，将会产生不可思议的效果。要想成为一位应用数学家，既要有外向型思维，又要有广博的知识。对我们这个领域的人来说，数学并不是一个由自我附和的定理和证明构成的原始、封闭的世界。我们会欣然接受各种各样的学科：哲学，政治学，科学，历史，医学，等等。所以，我想给大家讲述的故事是：由微积分主宰的世界。这是一种比以往更宽泛的微积分观，包含了数学和相邻学科中的许多分支，它们要么是微积分的“表兄弟”，要么是微积分的“副产品”。因为这种“大帐篷”观是非常规的，所以我要确保它不会造成任何混淆。比如，我在前文中说过，如果没有微积分，我们就不会拥有电脑和手机等，我的意思当然不是说微积分本身创造了所有这些奇迹。事实远非如此，科学和技术是必不可少的搭档，或者可以说是这出大戏的主角。我只想说，尽管微积分往往扮演的是配角，但也为塑造我们今天的世界做出了重要贡献。以无线通信的发展史为例。它开始于迈克尔·法拉第和安德烈·玛丽·安培等科学家发现的电磁定律，如果没有他们的观察和反复修正，那些关于磁体、电流及其不可见力场的重要事实将仍不为人所知，无线通信的可能性也永远无法实现。所以，实验物理学在这里显然起到了不可或缺的作用。但是，微积分同样很重要。19世纪60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的苏格兰数学物理学家，将电磁场的基本实验定律改写为一种可进行微积分运算的符号形式。经过一番变换，他得到了一个毫无意义的方程，显然有某种东西缺失了。麦克斯韦怀疑安培定律是罪魁祸首，并尝试修正它，于是他在自己的方程中加入了一个新项——可以化解矛盾的假想电流，然后又利用微积分做了一番运算。这次他得到了一个合理的结果——一个简洁的波动方程，它与描述池塘中涟漪扩散的方程很像。只不过麦克斯韦方程还预言了一种新波的存在，这种波是由相互作用的电场和磁场产生的。一个变化的电场会产生一个变化的磁场，一个变化的磁场又会产生一个变化的电场，以此类推，每个场都会引导另一个场向前运动，一起以行波的形式向外传递能量。当麦克斯韦计算这种波的速度时，他发现它是以光速运动的，这绝对是历史上最令人惊喜的时刻之一。因此，他不仅利用微积分预测出电磁波的存在，还解开了一个古老的谜题：光的性质是什么？他意识到，光就是一种电磁波。麦克斯韦的电磁波预测促使海因里希·赫兹在1887年做了一项实验，从而证明了电磁波的存在。10年后，尼古拉·特斯拉建造了第一个无线电通信系统；又过了5年，伽利尔摩·马可尼发送了第一份跨越大西洋的无线电报。接下来，电视、手机和其他设备也陆续出现了。显然，微积分不可能独立做到这一切。但同样显而易见的是，如果没有微积分，这一切就不会发生。或者更准确地说，即时有可能，也要很久之后才会实现。3、微积分不只是一种语言麦克斯韦的故事展现了一个我们将会反复看到的主题。人们常说数学是科学的语言，这是非常有道理的。在电磁波的例子中，对麦克斯韦而言，将他在实验中发现的定律转化为用微积分语言表述的方程，这是至关重要的第一步。但是，用语言来类比微积分的做法并不全面。微积分和其他数学形式一样，不仅是一种语言，还是一个非常强大的推理系统。依据某些规则进行各种符号运算，微积分可以帮助我们实现方程之间的转换。这些规则有扎实的逻辑根基，尽管看上去我们只是在随机变换符号的位置， 但实际上我们是在构建逻辑推理的长链。随机变换符号的位置是有效的简化手段，也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的简便方式。如果我们足够幸运和娴熟，能以正确的方式进行方程变换，就可以揭示这些方程的隐藏含义。对数学家来说，这个过程几乎是易于察觉的，就好像我们在操控着方程，给它们做按摩，竭力让它们放松下来，最后洞悉它们的秘密。我们希望它们能敞开心扉，跟我们交谈。这个过程离不开创造力，因为我们通常不清楚应该进行哪些操作。在麦克斯韦的例子中，他可以选择的方程变换方式有无数种，尽管所有方式都合乎逻辑，但其中只有一部分能揭示出科学真相。因为麦克斯韦根本不知道自己要寻找什么，除了毫无逻辑的语言（或者符号）之外，他从方程中很可能什么结果也得不到。但幸运的是，这些方程的确含有待揭示的秘密。在适当的刺激下，它们“吐露出”波动方程。此时，微积分的语言功能再次掌控了主导权。当麦克斯韦将他的抽象符号转换回现实时，它们做出了预测：作为一种不可见的行波，电和磁能一起以光速传播。在接下来的几十年里，这一发现改变了世界。4、不合理的有效性微积分竟然能如此出色地模拟大自然，这实在是太奇怪了，毕竟它们属于两个不同的领域。微积分是一个由符号和逻辑构成的想象领域， 大自然则是一个由力和现象构成的现实领域。但不知为何，如果从现实到符号的转换足够巧妙，微积分的逻辑就可以利用现实世界的一个真理生成另一个真理，即输入一个真理，然后输出另一个真理。我们先要有一个被经验证明为真和用符号表述（就像麦克斯韦对电磁定律的改写一样）的真理，然后进行正确的逻辑操作，最后得出另一个经验真理，这个真理有可能是新的，是从没有人知道的关于宇宙的事实（比如电磁波的存在）。就这样，微积分让我们放眼未来，预测未知。正因为如此，它成了强大的科技工具。但是，为什么宇宙要遵循各种逻辑，甚至包括渺小的人类也能发现的那种逻辑呢？当爱因斯坦写下“世界的永恒之谜在于它的可理解性”时，让他惊叹不已的正是这个问题；当尤金·维格纳在论文《论数学在自然科学中的不合理的有效性》中写下“数学语言在表述物理定律方面的适当性是一个奇迹，是一份我们既不理解也不配拥有的奇妙礼物”时，他想要表达的也是这个意思。这种敬畏感可追溯至数学形成时期。相传公元前550年左右，当毕达哥拉斯及其信徒发现音乐由整数比支配时，他就产生了这种感觉。想象一下，你在弹拨一根吉他弦，当弦振动时，它会发出某个音调。现在，把你的手指放在恰好位于弦中间的品格上，再拨一次弦。这时弦的振动部分只有最初长度的一半，即1/2，而它发出的音调恰好比最初的音调高八度（指在 do-re-mi-fa-sol-la-ti-do的音阶中，从一个do到下一个do的音程）。如果弦的振动部分是最初长度的2/3，那么它发出的音调会比最初的音调高五度（从do到sol的音程，比如《星球大战》主题曲的前两个音调）。如果弦的振动部分是最初长度的3/4，那么它发出的音调会比最初的音调高四度（《婚礼进行曲》的前两个音调之间的音程）。古希腊音乐家了解八度、四度和五度的旋律概念，并且认为它们很美妙。音乐（现实世界的和谐）与数字（想象世界的和谐）之间的这种出人意料的联系，引领毕达哥拉斯学派形成了“万物皆数”的神秘信念。据说他们始终认为，即使是在轨道上运行的行星也会演奏音乐——天体之音。此后，历史上许多伟大的数学家和科学家都染上了“毕达哥拉斯热”。天文学家约翰尼斯·开普勒尤为严重，物理学家保罗·狄拉克亦然。我们将会看到，“万物皆数”的信念驱使他们去探寻、想象和追求宇宙的和谐，并最终推动他们取得了改变世界的发现。5、无穷原则为了帮助你理解我们讨论的方向，我先说一下什么是微积分，它想要什么，以及它与其他数学学科的区别。幸运的是，有一个宏大而美丽的理念将贯穿这个话题的始终。一旦我们了解了这个理念，微积分的结构就可以被看作统一主题之下的变体。遗憾的是，大多数微积分课程都将这个主题埋藏在大量的公式、步骤和计算技巧之中。仔细想来，尽管它是微积分文化的一部分，而且几乎每位专家都知道它，但我从未见过它在哪里被阐明。我们不妨把它叫作“无穷原则”，无论是在概念上还是历史上，它都会像引导微积分本身的发展那样指引我们的讨论过程。虽然此时此刻它听起来好像胡言乱语，但通过我们一步步地探索微积分想要什么及其如何实现所想，理解无穷原则将变得越来越容易。简言之，微积分就是想让复杂的难题简单化，它十分痴迷于简单性。这可能会让你感到惊讶，因为微积分向来以复杂性著称。而且，不可否认的是，一些权威的微积分教科书的篇幅都超过1000页，重得像砖头一样。但是，我们不要急着做判断或下结论。微积分无法改变自己的样子，它的庞大笨重是不可避免的。它看起来复杂，是因为它要设法解决复杂的问题。事实上，它已经处理和解决了人类有史以来面临的一些最困难和最重要的问题。微积分成功的方法是，把复杂的问题分解成多个更简单的部分。当然，这种策略并不是微积分独有的。所有善于解决问题的人都知道，当难题被分解后，就会变得更容易解决。微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于，它把这种分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切分成有限的几小块，而是无休无止地切分下去，直到这个问题被切分成无穷多个最微小并且可以想象的部分。之后，它会逐一解决所有微小的问题，这些问题通常要比那个庞大的原始问题更容易解决。此时剩下的挑战就是把所有微小问题的答案重新组合起来，这一步的难度往往会大一些，但至少不会像原始问题那么难。因此，微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学。重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。这种策略可用于我们能够想象的做无尽切分的所有事物，这类事物被称作连续体，据说它们是连续的。比如，正圆的边缘，悬索桥上的钢梁，餐桌上逐渐冷却的一碗汤，飞行中标枪的抛物线轨迹，或者你活着的时光。形状、物体、液体、运动和时间间隔等都是微积分的应用对象，它们全部或者几乎都是连续的。请注意这个创造性假设背后的真相。汤和钢铁实际上并不连续，尽管在日常生活的尺度上它们看起来是连续的，但在原子或超弦尺度上并非如此。微积分忽略了原子和其他不可切分实体造成的不便，这不是因为它们不存在，而是因为假装它们不存在会大有帮助。正如我们将在后文中看到的那样，微积分偏好有用的虚构。更广泛地说，被微积分建模为连续体的实体类型，包含了我们能想到的几乎所有东西。微积分可以描述球如何不间断地滚下斜坡，光束如何在水中连续地传播，蜂鸟的翅膀或飞机机翼周围的连续气流如何使它们在空中飞行，以及患者开始采取药物联合疗法后，他血液中的HIV（人体免疫缺陷病毒）颗粒浓度在接下来的日子里如何持续下降。在每种情况下，微积分采取的策略都一样：先把一个复杂而连续的问题切分成无穷多个简单的部分，然后分别求解，最后把结果组合在一起。现在，我们终于可以阐明这个伟大的理念了。无穷原则为了探究任意一个连续的形状、物体、运动、过程或现象（不管它看起来有多么狂野和复杂），把它重新想象成由无穷多个简单部分组成的事物，分析这些部分，然后把结果加在一起， 就能理解最初的那个整体。6、石巨人与无穷这一切的难点就在于，我们需要和无穷打交道，这件事说起来容易做起来难。虽然谨慎而有限制地利用无穷是微积分的秘诀和它强大的预测能力的来源，但无穷也是微积分中最令人头疼的问题。就像《科学怪人》中的怪物或者犹太民间传说中的石巨人一样，无穷往往会挣脱主人的控制。就像所有表现人类狂妄自大的故事一样，怪物不可避免地会攻击创造出它们的人。微积分的创造者意识到了这种危险，但仍然发现无穷的魅力不可抗拒。当然，它偶尔也会发狂，带来悖论、困惑和哲学灾难。不过，数学家每次都能成功地征服无穷怪物，理顺它的行为，让它重回正轨。最终，一切总会变好；微积分给出了正确答案，有时候就连它的创造者也无法解释其中的原因。驾驭无穷并利用它的力量，这种欲望是一条贯穿微积分的2500年历史的叙事线索。由于人们常常把数学刻画成精确和绝对理性的学科，所以这些关于欲望和困惑的讨论似乎不太恰当。数学是理性的，但它一开始并非如此。创造力是直觉的产物，而理性则姗姗来迟。相比其他数学学科，在微积分的故事中，逻辑落后于直觉的情况更多。这让微积分显得尤其平易近人，那些研究微积分的天才看起来也和常人差不多。7、曲线、运动和变化无穷原则围绕着方法论主题构建了微积分的故事。但微积分既与方法论有关，也与谜题有关。最重要的是，有三个谜题促进了微积分的发展，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。围绕这些谜题的丰硕研究成果，证明了纯粹好奇心的价值。关于曲线、运动和变化的谜题乍看上去可能并不重要，甚至还深奥到令人绝望；但因为它们涉及丰富多彩的概念性问题，再加上数学与宇宙的结构有着密不可分的联系，所以这些谜题的解决方案对文明的进程和我们的日常生活产生了深远的影响。我们将在接下来的章节中看到，无论是在手机上听音乐，在超市激光扫描仪的帮助下轻松结账走人，还是利用GPS设备找到回家的路，我们都是在收获这些研究带来的好处。一切都始于曲线之谜。在这里，曲线的含义非常宽泛，指任何形式的曲线、曲面或曲面体，比如橡皮筋、结婚戒指、漂浮的气泡、花瓶的轮廓或者一根意大利香肠。为了让物体尽可能地简单，早期的几何学家通常只专注于探究它们的抽象、理想的曲线形状，而忽略它们的厚度、粗糙度和织构。比如，数学中的球面被想象成一张无限薄且光滑的正圆形膜，而不是像椰子壳那样有厚度、凹凸不平和毛茸茸的形状。即使在这些理想化的假设条件下，曲线形状也会带来令人困惑的概念性难题，因为它们并非由平直的部件构成。三角形和正方形很容易理解，立方体也一样，它们都是由直线、平面和几个角连接在一起构成的。计算它们的周长、表面积或体积，也不是一件难事。不管是在古巴比伦、古埃及、古代中国和古印度，还是在古希腊和古代日本，全世界的几何学家都知道如何解决这些问题。但是，圆形物体则很棘手。没有人能算出一个球体的表面积或体积有多大，即使是求圆的周长和面积，在古代也是一个难题。人们既不知道该从何处着手，也找不到便于理解的平直部件。总之，所有弯曲的东西都难以捉摸。微积分就是在这样的背景下诞生的，它萌生于几何学家对圆度的好奇心和挫败感。圆、球体和其他曲线形状是他们那个时代的“喜马拉雅山脉”，这并不是说它们造成了什么重大的实际问题（至少一开始不是），而是说它们激发了人类的冒险精神。就像攀登珠穆朗玛峰的探险家一样，几何学家之所以想解决曲线问题，是因为它们就在那里。有些几何学家坚持认为“曲线事实上是由平直部件构成的”，这种观点带来了突破性进展。尽管这不是事实，但我们可以假装它是真的。那么，唯一的问题就在于，这些部件必须无穷小，而且数量无穷多。通过这个巧妙的构思，积分学诞生了，这是人们对无穷原则的最早应用。我们会用几个章节的篇幅来介绍无穷原则的发展历程，不过它的本质早在萌芽期就简单直观地展现出来了：如果我们让显微镜的镜头不断接近圆（或其他任何弯曲且光滑的物体），可观测到的那部分曲线看上去就会变得平直。所以，通过加总所有平直的小部件来计算我们想要的曲线形状的相关信息，至少在原则上是可行的。多个世纪以来，世界上最伟大的数学家都在努力探究这个难题的解决办法。不过，通过共同的努力（有时还伴有激烈的竞争），他们终于在破解曲线之谜上取得了进展。我们将会在第2章中看到，今天与其相关的副产品包括：电脑动画电影中用来绘制逼真的人物头发、服装和面部的数学工具，以及医生在给真正的患者做面部手术之前，先给虚拟患者做手术时用到的计算工具。当人们清楚地认识到曲线不只是几何变换的结果时，对曲线之谜的探索达到了狂热的程度。曲线是破解大自然奥秘的钥匙，它们自然而然地出现在飞行球的抛物线轨迹中，也出现在火星围绕太阳旋转的椭圆轨道中。此外，在欧洲文艺复兴后期显微镜和望远镜蓬勃发展之时，曲线还出现在可根据需要弯曲和聚焦光线的凸透镜中。于是，人们开始解决第二大谜题，也就是地球上和太阳系中的运动之谜。通过观察和巧妙的实验，科学家在最简单的运动物体中发现了迷人的数值模式。他们测量了钟摆的摆动，记录了球滚下斜坡的加速下降过程，还绘制了行星在天空中的运行轨迹。这些模式之所以让发现者欣喜若狂（这是真的，当约翰尼斯·开普勒发现了行星运动定律时，他自称陷入了“神明附体的狂热”状态），是因为它们似乎表明一切都出自上帝之手。从更世俗的角度看，这些模式强化了大自然具有深厚的数学根基的主张，就像毕达哥拉斯学派一直坚称的那样。唯一的问题是，没有人能解释这些不可思议的新模式，或者至少无法用已有的数学知识来解释它们，即使是当时最伟大的数学家也无法用算术和几何来完成这项任务。问题在于，运动是不稳定的。在滚下斜坡的过程中，球的运动速度一直在变；在围绕太阳旋转的过程中，行星的运动方向也一直在变。更糟糕的是，当靠近太阳时行星的运动速度更快，而当远离太阳时它们的运动速度减慢。那时，人们并不知道该如何处理这种以不断变化的方式不停改变的运动。早期的数学家已经得出了描述最简单运动——匀速运动——的数学公式，即距离等于速度乘以时间。但是，当速度改变而且是持续不断地改变时，一切都变得不确定了。事实证明，运动跟曲线一样，也是一座概念上的珠穆朗玛峰。我们将在本书的中间章节里看到，微积分的下一次重大进步源于对运动之谜的探索。就像在破解曲线之谜时一样，无穷原则再次挺身而出。这一次，我们的创造性假设是，速度不停变化的运动是由无穷多个无限短暂的匀速运动组成的。为了直观地说明这句话的意思，想象一下你正坐在一辆由新手司机驾驶的汽车里，车速忽快忽慢。你紧张地盯着车速里程表，它的指针随着汽车的每一次颠簸而上下移动。但在1毫秒（0.001 秒）内，即便是驾车技术最差的人也无法让车速里程表的指针大幅移动。那么，在比1毫秒短得多的时间间隔（无穷小的时间间隔）内， 指针根本不会移动，因为没人能那么快地踩油门。这些想法共同构成了微积分的前半部分——微分学。它不仅是在研究不断变化的运动时处理无穷小的时间和距离变化所需的理论，也是在解析几何（主要研究由代数方程定义的曲线，在17世纪上半叶风靡一时）中处理无穷小的曲线平直部件所需的理论。的确，代数曾一度令人疯狂。它的普及对包括几何学在内的所有数学领域来说都是一大福祉，但它也创造出诸多难以驾驭的新曲线，有待人们去探索。17世纪中期，位于微积分舞台中央的曲线之谜和运动之谜相互撞击，在数学界引发了混乱和困惑。走出喧嚣之后，微分学渐趋成熟，但仍有争议。有些数学家因为草率地利用无穷而受到批评，有些数学家则嘲笑代数就是一堆符号的拼接。在这样的争吵声中，微积分的发展时断时续，非常缓慢。之后，有一个孩子在圣诞节那天出生了。这个微积分的拯救者年幼时看起来完全不像一个英雄：他是一名早产儿，没有父亲，3岁时又被母亲遗弃了。想法消沉的孤寂男孩就这样长成了沉默寡言、猜疑心重的年轻人，不过，名叫艾萨克·牛顿的他日后会在世界上留下空前绝后的印记。他先是解决了微积分的“圣杯”问题，发现了将曲线的各个部件重新组合起来的方法，而且是简单、快速和系统性的方法。通过把代数的符号与无穷的力量结合起来，他找到了一种方法，可以把任何曲线都表示成无穷多条简单曲线的和。之后，他破解了宇宙密码。牛顿发现，任何类型的运动都可以分解为每次移动一个无穷小步，而且每个时刻的变化都遵循用微积分语言表述的数学定律。他仅用几个微分方程（他的运动和万有引力定律），就能解释包括炮弹的飞行轨迹和行星的运行轨道在内的所有现象。牛顿的惊人的“世界体系”统一了天和地，掀起了启蒙运动，改变了西方文化，对欧洲的哲学家和诗人产生了巨大的影响。他甚至影响了托马斯·杰斐逊和《独立宣言》的起草。在我们的时代，当NASA（美国国家航空航天局）的非裔美国数学家凯瑟琳·约翰逊及其同事（小说和热门电影《隐藏人物》中的女主人公）设计宇宙飞船的飞行轨道时，牛顿的思想为她们提供了必要的数学计算方法，从而巩固了太空计划的基础。在破解了曲线之谜和运动之谜后，微积分转向了它的第三个由来已久的谜题——变化之谜。永恒不变的唯有改变，尽管这句话是老生常谈，但它依然是真理。比如，今天是雨天，明天是晴天；今天股票市场上涨，明天股票市场下跌。受到牛顿范式的鼓励，后来的微积分研究者提出了一些问题：是否存在类似于牛顿运动定律的变化规律？有没有适用于人口增长、流行病传播和动脉中血液流动的定律？微积分可用于描述电信号沿神经纤维传导的方式，或者预测公路上的交通流量吗？在执行这项宏大计划的过程中，微积分一直在与其他科技领域合作，为实现世界的现代化做出了贡献。通过观察和实验，科学家得出了变化定律，然后利用微积分求解并做出预测。比如，1917年，阿尔伯特·爱因斯坦将微积分应用于一个简单的原子跃迁模型，从而预测出一种被称为受激发射的神奇效应。他对这种效应进行了理论阐述：在某些情况下，穿过物质的光能激发出更多波长相同和传播方向相同的光，并通过一种连锁反应产生大量的光，形成强烈的相干光束。几十年后，这个预测被证明是正确的。第一台可运行的激光器在20世纪60年代初建成，从那时起，光盘播放机、激光制导武器、超市的条形码扫描仪和医用激光器等设备都离不开激光。变化定律在医学领域并不像在物理学领域那样为人熟知。然而，即便被应用于基本模型，微积分也能对挽救生命做出贡献。比如，我们在第8章会看到一个由免疫学家和艾滋病研究者建立的微分方程模型，在针对HIV感染者的现代三联疗法的形成过程中起到了什么作用。这个模型提供的见解推翻了“病毒在人体内处于休眠状态”的主流观点；事实上，病毒每时每刻都在与人体免疫系统进行着激烈的战斗。在微积分提供的这种新认识的帮助下，至少对那些有机会采取联合疗法的人来说，HIV感染已经从几乎被判了死刑的疾病转变为可控制的慢性疾病。不可否认的是，我们身处一个不断变化的世界之中，它的某些方面超出了无穷原则固有的近似性和出自主观愿望的想法。比如，在亚原子领域，物理学家不能再把电子想象成像行星或炮弹那样沿光滑路径运动的经典粒子。根据量子力学，在微观尺度上，电子的运动轨迹会发生抖动，变得模糊不清和难以确定，所以我们需要将电子的行为描述成概率波，它不再遵循牛顿运动定律。然而，在我们做了这样的处理后，微积分又一次胜利归来，它通过薛定谔方程描述了概率波的演化过程。尽管这令人难以置信，但它却是事实：即使在牛顿的物理学行不通的亚原子领域，他的微积分也依然有效。事实上，它的表现相当出色。我们将在后文中看到，微积分与量子力学共同预测出医学成像的显著效果，为MRI（磁共振成像）、CT（计算机断层成像）扫描和更加神奇的PET（正电子发射断层成像）奠定了基础。现在是时候去更深入地了解宇宙的语言了，当然，我们这趟旅程的起点是“无穷”站。第一章 无穷的故事数学的诞生建立在日常事务的基础之上：牧羊人需要记录羊群的数量，农夫需要给收获的粮食称重，税吏需要确定每个农民应向国王上缴多少牛或鸡，等等。出于这样的实际需求，数字被发明出来。一开始人们用手指和脚趾计数，后来他们用动物骨头上的划痕计数。随着数字的表现形式从划痕演变成符号，不管是税收和贸易，还是会计工作和人口普查，都便利了许多。在有5 000多年历史的美索不达米亚泥板文书上，一排排用楔形文字记录的账目为我们提供了关于数字演化历程的证据。除了数字，形状也很重要。在古埃及，线和角的测量是最重要的事。每年夏季，在尼罗河的洪水泛滥过后，土地测量员必须重新划定农田的边界线。后来，人们基于这项活动给研究形状的领域起了个名字：几何学。起初，几何学研究的都是棱角分明的形状。它对直线、平面和角的偏爱反映出它的实用主义起源，比如，斜坡多为三角形，纪念碑和坟墓多为棱锥体，桌面、圣坛和田地则多为矩形。建造者和木匠使用铅垂线时要依靠直角。对水手、建筑师和神父来说，无论是勘测、航海、遵循历法、预测日食或月食，还是建造庙宇和神殿，关于直线的几何知识都必不可少。尽管几何学执着于平直性，但有一种曲线总是十分引人注目，它就是最完美的曲线——圆。在树木的年轮、池塘的涟漪、太阳和月亮的形状中，我们都能看到圆。圆在大自然中无处不在。当我们凝视圆的时候，圆实际上也在注视着我们，因为它们就在我们所爱之人的眼睛里，在他们的瞳孔和虹膜的圆形轮廓中。圆不仅涵盖了实用物品和情感信物（比如车轮和婚戒），还很神秘。它们的永恒轮回让人联想到季节的循环、转世、永生和无尽的爱，难怪从人类研究形状开始，圆就一直备受关注。在数学上，圆体现的是没有变化的变化。一个点绕圆周运动，尽管它的方向一直在变，但它到圆心的距离始终不变。这是一种微小的变化，也是一种得到曲线的最微不足道的方式。当然，圆还具有对称性。如果你让一个圆绕它的圆心旋转，那么它看上去没有任何变化。这种旋转对称性可能就是圆无处不在的原因，每当大自然的某个方面不在意方向时，圆就一定会出现。想想雨滴落进水坑里会发生什么：微小的涟漪从落点向外扩展。因为涟漪朝各个方向扩散的速度都一样，而且它们都从同一个点出发，所以它们必定是圆形的。这是对称性的要求。圆也可以产生其他曲线形状。如图1–1所示，假如我们把一个圆沿其直径串在一根竹签上，然后在三维空间中绕着那根竹签旋转这个圆，就会形成一个球体，即地球仪或者球的形状。当一个圆沿着与其所在平面成直角的直线垂直移动并进入第三维度时，就会形成一个圆柱体，即罐头或者帽盒的形状。如果这个圆在垂直移动的过程中逐渐变小，就会形成一个圆锥体；如果它在垂直移动的过程中逐渐变大，就会形成一个截锥体，即灯罩的形状。【图】尽管早期的几何学家对圆、球体、圆柱体和圆锥体很感兴趣，但他们发现，相比三角形、矩形、正方形、立方体及其他由直线和平面构成的直线形状，曲线形状分析起来要困难得多。他们想知道曲面的面积和曲面体的体积，但却不知道该如何解决这些问题。简言之，圆度难住了他们。1、作为桥梁的无穷微积分最初是几何学的产物。在公元前250年左右的古希腊，掀起了一小股解决曲线之谜的数学热潮。这些爱好者有一项雄心勃勃的计划，那就是利用无穷在曲线形状和直线形状之间搭建一座桥梁。他们希望当这种联系建立起来的时候，直线几何学的方法和技巧可以跨越这座桥梁，为破解曲线之谜贡献力量。在无穷的帮助下，所有古老的问题都将迎刃而解。至少，他们设定的目标是这样的。当时，这个计划看起来一定相当牵强。无穷的名声备受质疑，除了可怕得要命以外，人们觉得它一无是处。更糟糕的是，它模糊不清，令人困惑。它到底是什么呢，一个数字，一个地方，还是一个概念？不过，我们很快就会在接下来的章节中看到，无穷其实是一件天赐之物。考虑到最终来源于微积分的所有发现和技术，利用无穷解决复杂的几何问题一定是自古以来最棒的想法之一。当然，公元前250年的人们根本无法预见到这一点。然而，无穷很快就有了一些令人印象深刻的表现，其中第一次和最好的一次是，它解决了一个由来已久的谜题：如何求圆的面积。2、比萨证明在开始进行详细的讨论之前，我先简述一下论证过程。它的策略是，把圆想象成一个比萨，然后把比萨切分成无穷多块，最后神奇地将比萨块排布成一个矩形。这样一来，我们就能算出圆的面积了，因为移动比萨块显然不会改变它们原来的面积，而且我们知道如何求矩形的面积：长乘以宽。其结果就是圆的面积公式。为了便于论证，这个比萨必须是数学意义上的理想比萨，它完全平坦，为正圆形，而且饼皮无限薄。它的周长(用字母C表示)是饼皮外缘的长度，可以通过绕饼皮一周来测量。周长通常不是比萨爱好者关心的问题，但如果我们想知道，可以用卷尺测量出C的值(图1-2)。我们感兴趣的另一个量是比萨的半径r，它的定义是从比萨的中心到其外缘上的任意一点的距离。特别要说明的是，如果所有比萨块都是等大的，而且是从中心切到外缘，那么r也是每个比萨块的直边长度(图1-3)。假设我们把比萨切成4等份。尽管我们可以用图1-4所示的方法把它们重新组合起来，但看上去不太可能计算出它的面积。这个新形状看起来像球根，它的顶边和底边都呈奇怪的荷叶边状。它当然不是一个矩形，所以我们很难猜出它的面积。我们似乎在倒退，但就像所有戏剧惯用的套路那样，在获胜之前英雄都免不了身陷困境。戏剧张力正在积累当中。不过，即使被困于此，我们也应该注意到两件事，因为它们在整个论证过程中都成立，而且最终会给出我们要找的那个矩形的尺寸。第一件需要注意的事是，比萨饼皮外缘的1/2变成了新形状的弯曲顶边，另外1/2则变成了底边。所以，新形状的顶边和底边的长度都等于比萨周长的1/2，即C/2(图1-4)。我们将会看到，这个长度最终会变成矩形的长。第二件需要注意的事是，球根形状的斜直边正是原始比萨块的直边，所以它们的长度依然是r。这个长度最终会变成矩形的宽。我们之所以还没看到关于期望矩形的任何迹象，是因为我们切分的比萨块不够多。如果我们把比萨切成8等份，然后按照图1-5所示的方式把它们重新组合起来，得到的图形看上去就会更接近于矩形。事实上，这个比萨开始有点儿像平行四边形了。结果还不错，至少它正在逼近一个由直线围成的图形。新形状的顶边和底边也不像之前那样弯弯曲曲了，我们切分的比萨块的数量越多，它们就会变得越扁平。和之前一样，顶边和底边的长度还是C/2，斜边长度为r。为了使整个图形更加规整，我们可以把最左侧的比萨块纵向切成等大的两部分，然后把其中一部分移到最右侧(图1-6)。现在这个形状看起来就很像矩形了。不可否认的是，它仍然不够完美，因为饼皮的曲率导致该形状的顶边和底边呈荷叶边状，但至少我们在进步。既然切分出更多比萨块似乎有所帮助，我们就继续切吧。在我们把比萨分成16等份，并像之前一样对最左侧的那块进行处理后，就会得到图1-7所示的结果。我们切的份数越多，由比萨饼皮外缘产生的荷叶边状的顶边和底边就会变得越扁平。在这个过程中我们会得到一系列形状，它们都魔法般地趋近某个矩形，我们称该矩形为极限矩形(图1-8)。这一切的关键在于，我们可以很容易地算出这个极限矩形的面积，即让它的长和宽相乘。那么，剩下的问题就是根据圆的尺寸找出矩形的长和宽了。由于比萨块都是竖直排列的，所以矩形的宽就是比萨的半径r。矩形的长等于比萨周长的1/2，这是因为在处理新形状的每个中间阶段，比萨饼皮外缘的1/2变成了矩形的顶边，另外1/2则变成了底边。因此，矩形的长等于比萨周长的1/2，即C/2。综上所述，极限矩形的面积可以用它的长乘以宽得出，即A=r×C/2=rC/2。而且，由于移动比萨块不会改变它们的面积，所以极限矩形的面积也一定是原始比萨的面积！古希腊数学家阿基米德在《圆的度量》中首次证明了圆的面积为A=rC/2，他的论证过程与上文讲述的方法类似，但更加严谨。就这个论证过程而言，最具创新性的方面在于无穷发挥作用的方式。当我们只把比萨分成4等份、8等份或16等份时，最好的情况不过是把比萨重新排布成一个有荷叶边的不完美形状。在经历了不太乐观的开端之后，我们切分的比萨块的数量越多，得到的新形状就越接近于矩形。但只有在我们把比萨切分成无穷多块的极限情况下，它才会变成一个真正的矩形。这就是微积分背后的伟大思想，在无穷远处，一切都变得更简单了。3、极限与墙之谜极限就像一个达成不了的目标，你可以离它越来越近，但你永远无法实现它。比如，在比萨证明中，通过切分出足够多的比萨块并对它们进行重新排布，我们可以使有荷叶边的新形状越来越接近于矩形。但是，我们永远不能把它们变成真正的矩形，而只能接近那种完美状态。幸运的是，在微积分中，极限的不可到达性往往无关紧要。通过想象我们能到达极限，然后看看这种想象意味着什么，我们常常可以解决手头的问题。事实上，微积分领域的许多最伟大的先驱正是运用这种方法，取得了伟大的发现。他们并不是依靠逻辑，而是依靠想象力获得了巨大的成功。极限是一个微妙的概念，它也是微积分的核心概念。它之所以难以解释，是因为这个概念在日常生活中并不常见。最贴切的类比可能是墙之谜：如果你走过了你和墙之间距离的1/2，再走剩下距离的1/2，接着走剩下距离的1/2……，你最终能到达墙根吗？(图1-9)答案显然是否定的，因为墙之谜明确规定，你每次只能走你和墙之间距离的1/2，而不是全部。不管你走了10次、100万次还是多少次，你和墙之间总会有间隙。但同样明显的是，你可以任意地接近这堵墙。也就是说，通过足够多次的努力，你可以走到离墙1厘米、1毫米、1纳米(10^(-9)米)，或者其他更小但不为零的距离范围内，但你永远无法真正走到墙根处。在这里，墙演的就是极限的角色。人们花费了大约2000年的时间，才给极限下了一个严格的定义。而在此之前，微积分领域的先驱只能依靠直觉。所以，即时你现在对极限的感觉还很模糊，也无须担心。通过分析一些实例，我们可以更好地了解它们。从现代的角度看，极限之所以重要，原因就在于它们是整个微积分领域的基石。如果墙的比喻显得太过冷酷无情(谁会愿意去接近一堵墙呢？)，不妨试试这个类比：任何接近极限的过程都像一位英雄在进行无止境的探索。它和西西弗斯面对的毫无希望的任务(他因触犯众神而受到惩罚，要把一块巨石滚上山顶，再眼睁睁地看着它滚下去，如此反反复复、无休无止)不同，这并非徒劳无功之举。当某个数学过程朝着某个极限逼近(比如，有荷叶边的形状趋近极限矩形)时，就好像故事的主人公正在为一个他明知道不可能实现但仍抱持着成功希望的目标而努力奋斗，这种希望是由他在竭力接近目标的过程中取得的稳步进展激发产生的。4、 0.333…的故事为了强化“在无穷远处，一切都变得更简单了”和“极限就像无法实现的目标”之类的伟大思想，我们来看看下面的算术实例。这是一个将分数(比如1/3)转换为等值小数(在本例中，1/3=0.333…)的问题。我清楚地记得，我八年级的数学老师斯坦顿女士教过我们这类问题的计算方法。这件事之所以让我记忆犹新，是因为她突然讲到了无穷。那一刻，我生平第一次听到一个成年人提及无穷。我的父母当然用不到它，它似乎是一个只有孩子才知道的秘密。在操场上，它总是以嘲弄和拾杠的方式出现。“你是个混蛋！”“是啊，好吧，你是两倍的混蛋！”“你是无穷倍的混蛋！”“你是无穷加一倍的混蛋！”“那和无穷倍是一样的，你这个笨蛋！”这些有启发意义的对话让我确信，无穷的行为和普通数字不一样。当你给它加上1的时候，它不会变大，即使给它加上无穷也是这样。它的这种所向披靡的属性极其适用于终结校园内的争论，谁抢先使用它，谁就赢了。但在斯坦顿女士提到无穷之前，没有其他老师跟我们谈论过这个问题。我们班的所有同学都已经知道有限小数了，因为它们常被用来表示金额，比如10.28美元的小数点后就有两位数。相比之下，无穷小数的小数点后有无穷位数，尽管它们乍看上去很奇怪，但和分数结合起来讨论就显得很自然了。我们知道分数1/3也可以写成0.333…，最后的三个点表示无限重复的“3”。这对我来说很重要，因为当我试着用长除法计算1/3时，我发现自己陷入了一个无限循环：1不够被3除，所以假设1是10，那么10除以3等于3余1；现在我回到了起点，又要拿1去除以3。我无法跳出这个循环，这就是在0.333…中“3”不断重复的原因。关于0.333…末尾的三个点，有两种解释。其中，朴素的解释是，在小数点右边确实肩并肩地排列着无穷多个“3”。当然，正因为有无穷多个“3”，所以我们不能把它们全部写下来，而改用三个点表示它们都在那里，或者至少在我们的脑海中。我把这种解释称为实无穷解释，在我们不愿意过多地思考无穷含义的情况下，它的优点是看上去简单明了、符合常理。复杂的解释是，0.333…代表极限，就像在比萨证明中极限矩形是有荷叶边形状的极限，或者墙是倒霉步行者的极限一样。只不过，这里的0.333…代表对分数1/3进行除法运算后得到的连续小数的极限。随着除法运算的不断进行，在1/3的小数展开式中会产生越来越多的“3”。通过努力计算，我们可以得到一个尽可能接近1/3的近似值。如果对1/3≈0.3的结果不满意，那么我们可以再算一步得到1/3≈0.33，以此类推。我把这种解释称为潜无穷解释，其中的“潜”意味着近似值的小数位数可以根据需要不断增多。没有什么能阻止我们进行100万次、10亿次或者更多次数的除法运算。这种解释的优点是，我们永远不必引入像无穷这样令人摸不着头脑的概念，而可以继续利用有限的概念。在处理像1/3=0.333…这样的等式时，我们采取哪种观点其实并不重要。它们同样站得住脚，而且在我们想进行的任何计算中都能得出相同的数学结果。但在数学领域，还存在实无穷解释可能会导致逻辑混乱的其他情况，这就是我在引言中提及无穷像怪物一样恐怖时所要表达的意思。对于某个过程产生的不断接近极限的结果，无穷有时候确实会让我们形成不同的看法。但假装这个过程已经结束，并且以某种方式到达了无穷境界，我们偶尔也会因此陷入麻烦。5、 无穷多边形的故事举一个烧脑的例子。假设我们在一个圆上画一定数量的点，并使其均匀分布，然后用直线将它们相互连接起来。如果画3个点，那么我们会得到一个等边三角形；如果画4个点，那么我们会得到一个正方形；如果画5个点，那么我们会得到一个五边形；以此类推，我们可以画出一连串的直线形状，它们被称为正多边形(图1-10)。请注意，我们画的点越多，得到的多边形就会越接近于圆形。与此同时，它们的边越来越短，数量越来越多。当我们按照边数从少到多的次序逐步推进时，多边形就会越来越接近于作为极限的原始圆。于是，无穷再次成为连接两个世界的桥梁。这一次，它把我们从直线的世界带到了圆的世界，将棱角分明的多边形变成了如丝般光滑的圆形。而在比萨证明中，无穷则把我们从圆的世界带到了直线的世界，因为它把圆变成了矩形。当然，在任何有限的阶段，多边形仍然只是多边形，它们还不是圆，也永远不会变成圆。尽管它们越来越接近于圆，但它们绝不会成为真正的圆。我们在这里谈论的是潜无穷，而不是实无穷。所以，从逻辑严密性的角度看，一切都无懈可击。但如果多边形的边数不断逼近实无穷，会怎么样？最终得到的边长无限短的无穷多边形真的是一个圆吗？这种想法颇具吸引力，因为到那时多边形会变得光滑，它的所有角都被磨平了，看上去一切皆完美。6、无穷的魅力和危险有这样一个普遍经验：极限通常比逼近它们的近似值简单。圆比所有接近它的多边形（有很多突起）都更简单，也更优美。同样地，在比萨证明中，极限矩形比有荷叶边的形状（有难看的隆起和尖点）更简单，也更优雅。对分数1/3来说亦如此，它比所有逼近它的笨拙分数都更简单，也更悦目，因为后者的分子和分母大而丑陋，比如3/10、33/100和333/1 000。在所有这些例子中，极限形状或极限数字都比其有限的近似物更简单，也更具对称性。这就是无穷的魅力，在无穷远处，一切都变得更好了。知道了这个经验之后，我们再回过头看无穷多边形的例子。我们是否可以孤注一掷地说，圆就是一个有无穷多条无穷短边的多边形呢？不，我们绝对不能这样做，也绝对不能屈服于这种诱惑，否则就会犯下实无穷的错误，并被推入逻辑的地狱。为了说明原因，假设我们暂时接受了这个想法，即圆确实是一个边长无限短的无穷多边形。那么，这些边究竟有多长呢？长度为0吗？如果是这样，无穷乘以0（所有边的长度之和）就一定等于圆的周长。但假设现在又出现一个周长加倍的圆，那么无穷乘以0也必定等于这个更大的周长。于是，无穷乘以0既等于前一个圆的周长，又等于后一个圆的周长。这简直是胡说八道！既然我们找不到定义无穷乘以0的一致性方法，将圆视为无穷多边形的观点也就站不住脚了。尽管如此，这种直觉还是有些许吸引力的。就像《圣经》中的原罪一样，微积分的原罪——把圆看作边长无穷短的无穷多边形的诱惑——也让人无法抗拒，它利用禁忌知识的前景和借助一般手段无法获得的洞见诱惑着我们。几千年来，几何学家一直在努力计算圆的周长。如果圆可以被由许多条微小直边构成的多边形替代，这个问题就会变得简单许多。数学家一边听着巨蛇的嘶嘶声，一边努力克制着原罪的诱惑，通过利用潜无穷而不是更吸引人的实无穷，找到了解决圆的周长问题和其他曲线之谜的方法。在接下来的章节中，我们将会看到他们是如何做到的。但在此之前，我们需要更深刻地了解实无穷究竟有多危险。它会引发许多其他错误，包括老师常常告诫我们不要犯的一个错误。7、除数为0的禁忌世界各地的学生都学过，0绝对不能做除数。他们可能会对这样一种禁忌的存在感到震惊，毕竟数字应该是井然有序、处处通用的，数学课也是一个充斥着逻辑和推理的场合。然而，对于数字，我们仍有可能提出一些无用或无意义的简单问题，除数为0就是其中之一。这个问题的根源是无穷。除数为0会召唤出无穷，据说这和用通灵板从另一个世界召唤出灵魂的方式差不多。真是太危险了，千万别去尝试。那些忍不住想知道为什么无穷会潜伏在阴影中的人，可以尝试用6去除以一个接近0但不完全等于0的数字，比如0.1。这样做毫无问题，6除以0.1等于60，商是一个较大的数字。我们再用6去除以一个更小的数字，比如0.01，商会变得更大，等于600。如果我们敢用6去除以一个更加接近0的数字，比如0.000 000 1，商就会变大很多，不再是60或600，而是60 000 000。趋势很明显：除数越小，商越大；当除数逼近0时，商趋于无穷大。这就是我们不能用0做除数的真正原因。胆小之人会说答案是“未定义”，但事实上答案是“无穷”。整个计算过程可以用图1–11表示出来。假设我们要把一条6厘米长的线段切分成长度为0.1厘米的小线段，这60条小线段首尾相接就组成了那条原始线段。【图】。
