瓜豆原理与整体思维及等效思想

在头条上看到一位老师的初中几何题，如下图1。原题的解题方法如图2，构造全等三角形巧妙地将数学对象BD转移到CE，也就是通过构造全等进行移形换位，转化为求CE的最大值。

图1

图2

手拉手、移形换位、转移，这些词语都是我的理解，原题讲解中没有这些词语，这些词语要有。

这个方法如果自己没想到，要反推别人是怎么想出来的，这个可自己思考下，这样思考就是锻炼数学思维能力。

发散思维，一题多解，用瓜豆原理给出了第二种解法，如下图3。

图3

对瓜豆原理做下简单介绍。瓜豆原理是对主从联动中主动点和从动点的运动轨迹规律的形象化的称呼。主动点在直线上运动时,对应的从动点的运动轨迹也是直线。主动点在圆周上运动,从动点的运动轨迹也是圆。主动点在多边形上运动，从动点的运动轨迹也是多边形，且这两个多边形相似。好比种瓜得瓜，种豆得豆，所以俗称瓜豆原理。

对瓜豆原理的阐释

瓜豆原理可以从数学上进行严格地证明，如果不严格证明，也可运用整体思维和等效思想加以阐释。

首先是个体与整体的辩证关系，整体是由多个个体组成的，例如一条直线或一个圆是由多个点组成的。在瓜豆问题中，单个动点是个体，它的运动轨迹(直线/线段、圆、多边形)是整体。

对瓜豆原理的理解要运用整体思维，要从主动点与从动点的联动与对应，上升到它们所属的运动轨迹的对应和联动。对应：主动点轨迹对应从动点轨迹，例如直线对直线，圆对圆；联动：主动点轨迹通过平移&旋转&位似变换，变化产生从动点轨迹。

如果思维一直陷在单个点的运动之中，没有顺着个体到整体的方向顺藤摸瓜想到整体、整体的运动，没有形成整体认识，那就是只见树木不见森林，无法一下子窥见全貌，也就无法得到本质认识。

理解瓜豆原理，另一个需要的是等效(等价)思想。在瓜豆问题中，个体的运动等效于整体的运动，单个点的平移、旋转、比例放缩变换就是对整体的平移、旋转、位似变换。

等效思想在物理学有较多的运用，例如等效电阻、等效电路、力的分解与合成、等效原理，数学中的等量代换也体现等效思想。

也就是瓜豆原理背后是整体思维和等效思想。

这道题，C点绕A点逆时针旋转120度到D点，不用瓜豆原理，直接运用整体思维和等效思想，可等效为圆O(整体)绕A点逆时针旋转120度形成圆O1，D点的轨迹是圆O1,圆心O旋转到O1。

更深入的理解：这题中C为动点，表面上看，C是单个点，但因为C是动点，所以要把它理解为圆O上的所有点(C1、C2、C3、...)或every，认识再延伸下：所有点就等效于圆O(整体whole)。

要善于从问题的表象描述中实现从every(每个点)到whole(整体)的认识飞跃&升华，否则就落入命题人的陷阱，题目中的文字有意引导你，让你只考虑单个点的旋转(C点绕A旋转)，而不写整个圆旋转，命题人就是有意用这种话术给题目蒙上一层面纱来迷惑你(做题者)，考验你能不能识破话术，恍然大悟看透面纱背后的本质：哦，其实就是将整个圆(whole)绕A点旋转，或多个点的多次旋转等效于一次性将整个圆旋转。

认识过程的两次飞跃

如果熟悉马克思主义哲学原理，学过其中的”认识过程的两次飞跃”，就更好理解了。

认识过程包括两次飞跃，由实践到认识（感性认识→理性认识）把认识上升到理性认识，又由认识到实践（即理性认识回到实践中去）。

所以从感性认识上升到理性认识，是认识过程的第一次飞跃；然后，从理性认识到实践，即用理性认识去指导实践，并接受实践的检验，是认识过程的第二次飞跃。

认识辨证过程的第二次飞跃比第一次飞跃更为重要。第一次飞跃解决的是认识世界、形成思想的问题，第二次飞跃解决的主要是改造世界、实现思想的问题，同时又是认识过程的继续和完成。

两次飞跃是既对立又统一的关系。

对本题，认识上的第一次飞跃就是从读题后形成的感性认识上升到了理性认识：其实就是将圆O绕A点旋转120度。第二次就是用这种理性认识去指导实践，也就是解题。

本人简书和头条一直在强调通透系统的数学思维体系是多元化的，要多学科融合，要融汇哲学、思维学&认知学、心理学、物理、化学、佛道儒经典等学科中的核心精华。多学科融合就要在课堂教学中能相互渗透相互协调，例如高中思政课学辩证法的同时，就要同步学习它在数学等学科中的运用。学科之间是有相互联系的，不能完全割裂，完全割裂会导致每门学科两败俱伤，很多人学过辩证法之后都只会纸上谈兵，很多人学过数学后，不知道有思维体系和数学思维体系，不知道数学思维体系中辩证法还有很重要的位置和指导作用，这就是思政(辩证法)、数学、思维学相互割裂导致。