【解题研究】(2021广西贵港26)旋转变换·手拉手·全等与相似

2021广西贵港26题

已知在△ABC中,O为BC边的中点,连接AO,将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角),得到△EOF,连接AE,CF.
(1)如图1,当∠BAC=90°且AB=AC时,则AE与CF满足的数量关系是          ;
(2)如图2,当∠BAC=90°且AB≠AC时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,延长AO到点D,使OD=OA,连接DE,当AO=CF=5,BC=6时,求DE的长.

试题分析

本题立意新颖,既注重基础知识,同时又具有一定的综合性.解题时,用到模型思想,注意识模、用模.
(1)全等型手拉手,AE与CF是拉手线,证明△AOE≌△COF(SAS),可得结论.
(2)证明方法类似(1),全等型手拉手,AE与CF是拉手线.
(3)相似型手拉手,首先证明∠AED=90°,再利用相似三角形的性质求出AE,利用勾股定理求出DE即可.
备注:
1.直角+中点→直角三角形斜边中线等于斜边一半(如图1、图2,OA=OC=OB);
变式1:若∠BAC=90°,OC=OA,可推出OA=OB,即点O是AB的中点;
变式2:若OA=OC=OB,可推出∠BAC=90°.
2.手拉手模型
解题时,分辨符合条件的两个母三角形,然后确定由拉手线与头构成的子三角形,证明全等或相似.
(1)顶角相等的两个等腰三角形共顶点手拉手→产生的三角形全等;
(2)两个相似的非等腰三角形的一对应角的顶点手拉手→产生的三角形相似

题目解析

解:(1)结论:AE=CF.
理由:
∵AB=AC,∠BAC=90°,OC=OB,
∴OA=OC=OB,AO⊥BC,
∵∠AOC=∠EOF=90°,
∴∠AOE=∠COF,
∵OA=OC,OE=OF,
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF.
(2)结论成立.
理由:∵∠BAC=90°,OC=OB,
∴OA=OC=OB,
∵∠AOC=∠EOF,
∴∠AOE=∠COF,
∵OA=OC,OE=OF,
∴△AOE≌△COF(SAS),
∴AE=CF.
(3)由旋转的性质可知OE=OA,
∵OA=OD,
∴OE=OA=OD=5,
∴∠AED=90°,
∵OA=OE,OC=OF,∠AOE=∠COF,
∴  ,
∴△AOE∽△COF,
∴  ,
∵CF=OA=5,
∴   ,
∴AE  ,
 DE

解后反思

1.关注“基本图形” 提升“思维品质”,一个平面几何图形,常可分解成若干个基本图形.因此,基本图形是构成复杂图形的细胞.证明平面几何问题时,若从基本图形入手,先将题中图形分解(构造)成几个基本的几何图形,然后充分利用这些基本图形的性质去证,常可思路广阔,容易证明.平时注意从习题中提炼常用的基本模型,并通过识模、用模,从而强化对基本图形的理解.
2.纵观各地的中考试题,常常出现一类提炼所得的基本模型相关的题目.
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