1为什么不是素数

最近有抖音主播在科普视频上给大家解释了一个简单的问题，1为什么不是素数，视频中博主打了个埋伏，说很多人认为这就是规定的，就这么定的，就像自然数的定义一样，然后，话锋一转说，其实1不是质数的原因是为了保证在质数分解时得到分解形式的唯一性。

1为什么不是质数

质数分解是指任何一个合数都可以分解为若干个质数相乘，比如，4=2*2表示4可以分解为2个质数2相乘；6 = 2*3表示6可以分解为质数2和质数3相乘； 8 = 2*2*2表示8可以分解为3个质数2相乘。

而唯一分解定理告诉我们，对于一个给定的合数，比如8， 他分解形式是唯一的，也就是说，我们不能再找出另外一种形式来分解8，比如，8=a*b*c，a，b，c是其它的、不是2的质数，这种情况不可能存在的事情。8分解为质数相乘的形式，只有1中，就是2*2*2。

先不说这个唯一分解定理如何证明。如果1是质数，那么这个质数分解就不唯一了。

为什么，因为，如果1是质数，那么8就可以分解为2*2*2*1*1*1，也可以分解为2*2*2*1，这样，不同的形式都能满足分解的要求，唯一性就不能得到保证了。因此，为了让质数分解的形式保持唯一性，我们不能让1成为质数。

质数分解的唯一性

这个说法靠谱吗？我们说这样的解释也不能说不对，至少，如果1是质数了，质数分解形式也的确不唯一了。但是，1不是质数，不仅仅是因为要保持质数分解唯一性，我们还有其他的要求。而且，实际上，即便1是煮熟，我们还是可以保证质数分解形式的唯一性，。

比如，我们如果强行规定1为质数，质数分解唯一性定理只需要改变一点就可以保证了，也就是：

任何一个合数都可以分解为唯一一组不包括1的质数的相乘形式。

这样，质数分解唯一性依然没有问题，我们只需要把1排除在定理外就可以了，因为质数分解唯一性是一个定理，而非公理。

但与此同时，如果1是质数，很多与质数有关的定理也都需要把1排除在外，从而增加不必要的麻烦。因此，当代科学家普遍接受了把1排除在质数集合之外的决定，主要还是因为引入了1后，很多定理还是需要增加一些先决条件。

那么，1 到底为什么不是质数呢？是因为要保证质数分解唯一性吗？是不是还有其他的原因呢？我们需要从质数的定义再看一看，就可以知道为什么1不能是质数了。

我们都知道，质数的定义式：除了1和作自身外，不能被其他数整除的、大于1的自然数叫做质数。

根据这个定义，我们知道1就是自身，而1除以1得1，因此，1既可以被1整除，也可以被自身整除，除此之外再也没有其他的数能整除1了。

因此，如果不限定大于1这个条件，原则上1也是符合质数定义的。这就意味着，如果我们不限定大于1的话，似乎也是可以的，让1进入质数序列似乎也没有什么问题。比如，我们把质数分解的定理改一下，把1排除在因子之外就可以了，但其实还不能这么简单地处理。

我们发现，当我们对1进行质数分解时，我们却得到了无穷多种分解方法，1=1， 1=1*1；1=1*1*1*1*1；这样的形式可以有无数多种，这就带来的一个新的问题，1到底是合数还是质数？

如果1是质数，意味着存在一个质数可以分解为多个质数相乘的形式，而我们知道，质数的一个核心特点就是只能分解成自身和1的乘积的形式。如果有多个因子，那么就是合数了。

比如8，就有3个质数因子，8=1*1*1；而如果1也是质数，1 = 1*1*1，也可以分解为3个质数乘积的形式，那么合数8与质数1到底有什么性质上的区别，这就成了一个问题。

我们都知道合数是可以分解为多个质数相乘的形式，那么1似乎也符合了合数的特征，因此，如果我们让1进入质数的序列，那么合数的质数分解的性质就需要重新考虑和定义了，因为有一个质数1也可以分解为多个质数相乘的形式。

换句话说，当我们让1成为质数的时候，1同时也具有了合数的一些性质。这就是我们必须要把1排除在质数之外，这样1既不是质数，同时，也不是合数了。

黎曼猜想怎么办？

1如果成为质数，还会带来另外一个比较重要的问题，我们知道黎曼猜想中的Zeta函数等价为一组质数的倒数的乘积，如果1也是质数，那就存在了一个1/(1-1)的项，0作为分母，这让问题变得无法解决。因此，黎曼也不会希望1是质数。

总得来说，初看起来，1作为质数也不是不行，早期数学家很多认为1也是质数，只是到了近代，随着数论研究深入，才发现1如果是质数会引起很多深刻的数学问题和困扰，不仅仅是分解唯一性的问题，比如，1还不能是合数，也是因为类似的问题。

因此，最终，我们把1作为一个特殊的自然数保存了起来，它既不是质数，也不是合数。