【名师支招】一题贯穿二次函数综合（一）线段问题
二次函数综合题在各地总考题中多以压轴题的地位出现，形式多样，变化多端。总结起来大致可分为以下几类问题：线段、角、三角形周长、三角形面积、四边形面积、等腰三角形的存在性、直角三角形的存在性、三角形全等的存在性、三角形相似的存在性、特殊四边形的存在性.从今天开始，我们尝试以一个二次函数为背景将上述问题融合其中，探讨以上问题的解决方案.
如图，抛物线y=-x^2+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为该抛物线的顶点.
（1）在抛物线对称轴上确定一点P，使得PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标.
（2）在抛物线对称轴上确定点P，使得△PAC周长最小.
分析：易求点A(（-1,0），点B（3,0），点C（0,3），点D（1,4），抛物线的对称轴为直线x=1.由题可知，点A，C是定点，点P是抛物线对称轴上一个动点，典型的两定一动一直线问题，即著名的“将军饮马”问题.解决这类问题的方法是：将其中一个定点以定直线为对称轴对称过去，将同侧两点转化为异侧两点.根据“两点之间线段最短”和“对应点所连线段被对称轴垂直平分”以及“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得结果.如本题中，可将点A沿抛物线对称轴对称过去，即点B。连接CB，CB和对称轴的交点即为点P，线段CB的长度即为PA+PC的最小值.
反思：在解决第（1）问中将军饮马问题时，我们将点A沿对称轴对称过去，当然也可以将点C沿抛物线的对称轴对称过去，但是这样做会比前面做法稍微困难一点，在做题时要加以选择.第（2）问虽然问的是周长，但其实是第（1）问的延续，完全可以转化为第（1）问，在平时的做题过程中，注意养成对问题归类的意识，总结哪些问题实质上是同一类问题，逐步养成解一题通一类的能力，提高复习效率.
赞 (0)