2021山东济南第26题（几何综合压轴题）

“初中数学研学堂”

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山东济南第26题

图文解析

对称知∠EAB=∠DAB=45°，BE=DB，因为∠ABC=45°，所以∠EAB=∠ABC，由BD=2CF，则BE=2CF.

易证△AMB和△FMN都是等腰直角三角形，故可证△CMF≌△BMN，所以BN=CF，而BE=2BN，所以BE=2CF.

构造全等三角形，进而证明△AGM为等腰直角三角形，斜中性质有CF=FG，三角形中位线性质有BE=2FG,所以BE=2CF.

依题意可证GM=NF，CN=MF，故可证△CNF≌△FMG，所以CF=GF，而BE=2GF，故BE=2CF.

取DE中点P，连接AP，QF

由三角形中位线性质有AD=2QF,AC∥QF，所以∠ACQ=∠CQF=60°，因为△EAD为直角三角形，且P为DE的中点，故DE=2AP，且∠CAP=60°，所以∠CAP=∠CQF，因为AD=AP，所以AP=2QF，而AC=2CQ，所以△CAP∽△CQF.

由旋转相似模型，进而可证△CAQ∽△CPF，故PF=√3CF，根据三角形中位线性质有BE=2PF，所以BE=2√3CF.