高估还是低估：遗漏变量偏误的方向判断

作者：秋枫澜

在运用计量分析方法进行因果识别时，内生性是一个永远也绕不开的坎。内生性的存在会使得内生变量的估计系数出现偏误，对得到正确的研究结论带来不利影响。通过OLS的推导我们知道：

，也就是说，内生变量X的估计值是由其真实值加上某一个值构成。

当这“某一个值”大于0时，内生变量的估计值超过真实值，出现了高估；反之，当这“某一个值”小于0时，真实值超过内生变量的估计值，出现了低估。因此，内生性导致的估计结果偏误，要么就是高估了的向上偏误，要么就是低估了的向下偏误。

为了克服内生性，最好的办法是为内生变量寻找一个外生的工具变量。可惜的是，要得到一个好的工具变量并不是一件容易的事情。在工具变量难得或不可得的情况下，如果我们能知道自己的结果是处于真实值的上限区域还是下限区域，往往也有助于做出合理的分析。比如，基准回归中得到了一个显著的结果，此时尽管有内生性的存在，只要内生性使得估计结果处于低估状态，那么并不影响结论，因为一旦解决了内生性，效应只会更加明显。

现在的问题是，怎么来判断回归结果是高估了还是低估了呢？考虑到遗漏变量偏误是最寻常和普遍的内生性来源，因此下面重点说一说遗漏变量偏误的方向判断。

以教育回报中的能力偏误为例，一个典型的模型是：

其中，Y为收入，S为受教育年限，A为个人能力。一般来说，能力(A)是无法

观测的，实际回归中只能估计如下的简化模型，其中，

：

在这个简化形式中，可以推导出受教育年限S的系数的估计值为：

把Y的真实模型代入进来得到：

很显然，受教育年限S的系数到底是高估还是低估，便取决于

和

的符号是正还是负。前者为真实模型中个人能力A的回归参数，后者为个人能力和受教育年限的相关系数。

根据两者不同的符号组合，可以有以下四种情况：

1. 能力正向影响收入，且能力与受教育年限正相关，则简化回归得到的受教育年限的估计值将向上偏误，出现高估；
2. 能力正向影响收入，且能力与受教育年限负相关，则简化回归得到的受教育年限的估计值将向下偏误，出现低估；
3. 能力负向影响收入，且能力与受教育年限正相关，则简化回归得到的受教育年限的估计值将向下偏误，出现低估；
4. 能力负向影响收入，且能力与受教育年限负相关，则简化回归得到的受教育年限的估计值将向下偏误，出现高估。

虽然有四种可能的组合，但在教育回报的实际研究中，情况(1)最符合逻辑，因而遗漏了能力变量会导致教育的估计系数出现高估。此时，不得不寻找能力的代理变量，或者为受教育年限寻找合适的工具变量。

不过，假设实际出现的是教育回报的低估，尽管别人会批评文章的内生性问题，但我们也可以进行合理的辩护：首先，不是没尝试找工具变量，而是为受教育年限寻找到一个好的工具变量实在不容易；其次，尽管因能力变量的遗漏而导致了内生性，但估计结果只是真实值的下限，没有内生性时教育的回报只会变得更高，文章的结论只会变得更强。

总结一下，当出现遗漏变量偏误时，内生变量的估计值到底是高估还是低估，取决于遗漏变量对被解释变量的影响到底是正还是负，以及遗漏变量和内生变量之间是正相关还是负相关。如果遗漏变量和内生变量之间的相关性与遗漏变量和被解释变量之间的相关性方向一致，则会使得结果被高估，反之则会使得结果被低估。