隐园问题：中考数学之无中生圆思想（四）四点共圆 / 开普饭

在中学平面几何中，添置辅助线是处理几何求解及证明的精髓。辅助线添得巧妙，往往会化繁为简，化难为易。除此之外，在一些直线形的几何题目中，经常可以通过构造辅助圆，使这些非圆的平面几何图形中的有关线段、角等突然涌现出许多圆的性质，使我们能轻易地发现相关的性质关系，架起题设条件和结论的桥梁，得到圆满简捷的证明或求解；亦或者，在动点类问题中，可以通过圆的相关性质判断出动点轨迹为圆，从而作出其轨迹圆求解出最值问题或轨迹长。因此，圆的从无到有经常起到了四两拨千斤的作用，孔老师谓之曰：无中生圆思想。此思想在几何证明、几何求解，尤其是线段最值类问题中有大妙用。怀揣无中生圆思想，洞悉关键信号，掌握添加辅助圆或轨迹圆的技巧，从而达到独辟蹊径、巧思妙解，即为创作本系列的用意所在。之目前已为大家更新了无中生圆思想第一篇(基本方法篇)中四大基本方法的三前两个方法：定/动边对直角、定/动边对定角、定点定长，今天带来的是最后一个基本方法：四点共圆，这是四大基本方法里最实用的方法，选、填、解答均有可能会遇到。且使用四点共圆往往可以使复杂的几何题尤其是压轴题，简化很多步骤！

基本方法篇

一

方法四：四点共圆

所谓四点共圆：

四点共圆是初中平面几何里的一个重要方法，涉及的对象很多，使用灵活，难度很大。它可以用来处理动态几何的最值问题，但更多时候是用来处理静态几何的一大利器。针对静态证明题和求解题，通过四点共圆来构造辅助圆，之后利用圆的相关性质往往可以起到另辟蹊径的效果，由于涉及情况较多，这里只展示两类初中最常遇见的两类四点共圆：

内接四边形型

初中数学现在基本没有大题要求证明四点共圆，教科书也仅仅是出现了“四边形对角互补，则四个顶点共圆”这样的简单结论，这便是咱们第一种四点共圆的方法，这个结论在做题时甚至大题、压轴题时经常引用，有时可以迅速得出所求。如下左图四边形ABCD中有一对对角α与β互补，则可说明A、B、C、D四点共圆：

同弧圆周角型

其实在学习圆的性质之时，我们还学过了“同弧或等弧所对的圆周角相等”，这个结论反过来也可以说明四点共圆。如下右图，△ABD和△ABC的公共边AB对两个等角γ与θ，则A、B、C、D四点共圆。这一种类似于类型一“定边对定角”，但这里不是动态问题哦，所求非最值问题，即“无中生圆”之后或许不需要“一箭穿心”。但孔老师在这里温馨提示，“同弧或等弧所对的圆周角相等”反向证明四点共圆这个结论在大题中并不可用，仅可在选、填中为解题提供便捷而迅速得解。