荔枝弯曲的形状是否有曲线方程？

要分析这个问题，首先得抓住主要矛盾，几何非线性，大变形。

这个问题的关键词是“大变形悬臂梁”，也就是说材料力学中的小变形假设不再成立，

如上图所示，根据推导结果，梁的挠曲线参数方程为

其中参数

由下面方程确定，这代表的是梁长约束。

参照下面这组实验，我们对比一下实验结果与理论结果。

这里把实验参数都列上，有感兴趣的可以亲自算一算。梁长

,宽

,高

,弹性模量

，作用力

。

实验结果与理论结果对比如下，基本一致。主要误差来源于理论结果中未考虑梁的重力。

按理说这个问题到这里就结束了。但其实很多人都有疑问，这种分析方法不具有普遍性。

能不能利用数值方法来求解这个问题。答案是可以的，只不过需要点小技巧。

先把这个控制方程列出来

解这个方程需要利用打靶法，这是一种对付非线性微分方程的万能利器。

固定一个

,就会求得一条挠曲线，也即获得一个梁长度

。

不断变更

，使得

,此时的

即为我们需要求解的梁的横向位移。

下图为Mathematica计算结果，与参数方法所获结果完全一致。代码略去了打靶过程。

我们总结一下，此类问题的最好解决办法是利用打靶法数值求解非线性微分方程。

例如上述问题中考虑梁重力影响的话，只需修正一下弯矩表达式。

我还是想吐槽一下，知乎上的学生以物理系和数学系的为多，而力学系的学生非常少，这就造成了很多力学问题下面的回答者都是物理系学生。至于回答，那就非常有意思了。

对于受力分析问题，都会说，一个拉格朗日方程就行；对于曲线问题，都会说，应该是悬链线，或者摆线；对于复杂点的问题，都会说，很简单，用变分法即可求解；其实，物理和力学是不同的专业，各有分工，妄图凭借一点分析力学知识就想解决所有力学问题是非常可笑的。

毕竟，这可是钱学森先生的专业。

【公式推导部分】

梁的挠曲线控制方程为

弯矩表达式为

，为了使横向位移

不在方程中出现，将方程对

求一次导数,方程变为

带入弯矩，得到

两边同乘

,上式可化为，

根据边界条件

以及

,可知

将弧长

表示为

的函数，

这其实可以写成椭圆积分，但没啥必要。

有一个约束条件需要注意，即梁的长度没有改变，

据此求出

，梁的参数方程可表示为，

其余参数可顺势获得

。

以上文章观点仅代表文章作者，仅供参考，以抛砖引玉！

END