黄东坡：初三可报的清华新领军试题，超纲中学数学近7成，从这场考试说起数学打补丁的重要性
在数学解题过程中，有时稍不注意就会出现一些漏洞，需要我们常给自己的思维打补丁升级，尤其应对该分类讨论的问题时，绝大多数考生常因只做出一个答案就心满意足，或是无法发现题中极易漏分的不确定因素，确定分类标准，而最终导致求解偏差或漏解失分。
近期，2月27日丘成桐数学科学领军人才培养计划的综合测试在清华大学顺利举行。
以“初三可报、免试直博、仅招100人”等条件，为低年级优质人才提供选拔机会，
自去年年底“清华新领军”计划一出炉便备受大众关注与热议。
此次整套试卷近七成非高中内容，涉及高等数学、线性代数、抽象代数等大学入门知识。
从中可以看出，这场考试若考生自学能力较强，能学有余力再自学一些简单的大学知识，快速适应大学进度，则有较大的优势。
也就是说，这群考生要求往往数学基础很好，不仅能顺利地做好初高中数学衔接，还能提前做好从高中到大学的数学跨越。
尽管这份测试对于绝大多数中学生来说，难度颇大，但也并非完全高不可攀，比如第1题主要用了初中数学的引参和因式分解的思想方法进行求解：
清华新领军试题本质考察的其实并非知识立意，而是素养立意，指向数学方法思想精神。
这些重要的数学思想方法，中学数学教科书并未对其专门论述，却渗透于中学数学各个组成部分。
它们是尖子生自学大学知识和考场解题的利器，
是初、高中、大学各阶段数学跨越链接的纽带，
更是我们常常最容易忽略，需要打补丁的地方。
比如说划归与转化、抽象与具体、特殊与一般、类比思想、方程思想、发散思想……其中分类讨论思想就不光适用于大学高等代数、数学分析等课程，它还适用于数学的任何学科，而且是解决数学问题的一种重要的手段和方法，在这次测试中的第2题也有应用：
但在初中数学学习阶段解决需要分类讨论的问题时，我们80%的学生却常犯错误，基本稍不注意就会出现一些漏洞。
因极易满足、考虑不周，或是不能结合图形的不同位置确定分类标准，
而导致求解偏差或漏解，最终失分，例如以下在初中数学考试中极易漏分的七类分类讨论题型：
极易漏分的七类分类讨论题型
字母系数的不确定
当一个式、方程或函数中的最高项的系数为字母或字母的式子且式、方程或函数的“类型”比较“泛化”时，需对字母或字母的式子是0和非0作出分类，如南京市的一道中考题：
2
绝对值引起的不明确
解决有关绝对值问题的方法通常是利用去绝对值法则进行分类讨论，将绝对值符号消去，其绝对值法则如下：
以重庆市的一道竞赛题为例：
3
边（角）对应关系的不明确
当等腰三角形中的底与腰不确定时，
或当全等三角形和相似三角形的对应点不确定时，需要分情况进行讨论。
在进行分类讨论时，要抓住问题的实质，突出边(或角)的对应关系，如湖北省的一道竞赛题：
4
动态问题的“分段破译”
对动点问题中的数量关系及其对应的图象进行“分段破译”，
挖掘每段图象所蕴藏的信息和段与段间“折点”的信息，做到形数的结合与转换，以四川南充一道中考题为例：
5
反比例函数图象的增减性
反比例函数图象为双曲线，其增减性与k值的正、负相关，又与象限相关。
对于同一个确定的k值，应分支(每一象限)考察，也就是说，
同一个象限内的两点的纵坐标的大小可以按增减性去判断，但在两个分支上的点就不能按增减性质去判断了，如湖北省武汉市的一道中考题：
6
应用问题中的不同方案
某些应用题中蕴含着不同的方案，当所研究的应用题条件不确定或结论不唯一时，则相应的计算法也随之发生变化，一般需分类讨论，以湖北黄石一道中考题为例：
7
图形本身的不确定
当题目由于图形位置或者图形本身具有不确定性，从而无法给出具体图形。这就要求我们要根据题意画出不同的图形，以便更好地分类讨论，以湖南省长沙市一道中考题为例：
把握三个原则打好补丁
透过上述7类题型，我们可以看到当一个数学问题无法一次性解决，题中条件、结论不明确，或含参数或图形不确定时，就常需用到分类讨论。
其核心关键在于是否能发现题中极易漏分的不确定因素，明确讨论对象，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后才能综合各类结果得到整个问题的解答。
具体来说，要避免漏分打好补丁，正确地进行分类一般有以下3个原则：
①要有明确的分类标准；
②对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，各部分之和为总体，任意两个类别之间不出现交叉；
③当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准。
不过，有时我们在数学解题中也要避开因讨论而带来复杂和繁琐，求解回到定义中去、运用性质、正难则反，整体思考等是常见的方法，如重庆市的一道竞赛题：
所以，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无统一的规定。
但可以在解题出现漏洞时，提高警惕，不断地总结经验，打补丁进行升级。
特别对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论。另外，数学中的一些结论，公式、方法，对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立，这也是造成分类讨论的原因。
分而治之，自觉应用
《孙子兵法》“谋攻篇”中写道：
“故用兵之法，十则围之，五则攻之，倍则战之，敌则能分之，少则能守之，不若则能避之。”
意思是说，若兵力十倍于敌就包围他，兵力五倍于敌就进攻他，兵力两倍于敌则与他们交战，与敌兵力相等则设法分散他们，兵力少于敌人要能防守，打不过敌人则要善于摆脱避之。
而数学解题和生活中的许多决策有时就如带兵作战，讲究分而治之，把敌我兵力分成多种情况，将难题逐类求解，最终各个击破，大获全胜，防止中招漏分。
这是一种极为重要的数学思想，蕴含着化整为零、积零为整的智慧，在现实中无处不在，尤为考察思维的周密性与深刻性。
近年来中考数学试卷中结合分类讨论思想及其应用的试题也十分常见，但题目试题往往难度较大，得分率偏低，究其原因，还是未能灵活应用，未形成给漏洞分类分解的意识和习惯。
所以在长久的数学学习和解题过程中，要想打补丁、补漏洞，关键还在于通过分类讨论等数学思想方法给自己的思维漏洞打补丁。