《九章算術》之弧田公式及畝法說
《九章算術》之弧田公式及畝法說
上傳書齋名:瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要:古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面積之公式,載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術。本文亦提及1 畝有 240 方步。
關鍵詞:弧田、弧矢形、畝法
第 1 節 《九章算術》之弧田面積公式
古已有求弧田﹝即今之所謂弓形﹞面積之公式,載於《九章算術‧卷一‧方田》中弧田術,曰:
術曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
此法稱為“古法”,即以古公式求弧田面積。弧田涉及弦與矢,以下為弧田弦矢圖及弧田面積公式圖:
今設 BD 為矢,而 BD = v;AC 為弦而AC= c。
《九章算術》之弧田面積 ABC =
(cv + v2)-------------------------- (1)
此公式可憑觀察上兩圖而得,但此面積之誤差極大。
cv 顯然為等腰 ΔABC 之面積,但尚欠 AB 及 BC 兩小弓形之面積﹝以 AB 及 BC 為弦﹞,此兩面積之和以
v2 作為近似值,即矢平方 BEFD 之半,亦即直角 ΔDEF 之面積。 (1) 式誤差極大之另一理由為涉及古圓周率 π = 3,而π = 3 乃粗略之值,若以此數值為基礎,則其相關之算法及所得之結果亦粗略。
(1) 式與π = 3 有關之說可見之於劉徽注文,《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注曰:
弧田,半圓之冪也。故依半圓之體而為之術。以弦乘矢而半之,則為黃冪,矢自乘而半之,則為二青冪。
式 (1) 之面積公式可由半圓之面積推出,故曰“依半圓之體而為之術”。若π= 3,圓半徑為 r,則圓面積為 3r2,半圓面積為
。
半圓面積 =
=
(2r × r +r2) =
(AC× OB + OB2) -------------- (2)
等號右方乃 (1) 式之形式。
注意 OA = OC = OB= r,AC = 2r﹝見左下圖﹞。
若直徑AC 向上移至 A’C’ ,則A’C’ 之長非 2r,而縮短成 c,相應 OB縮短成 BM,其長為 v,半圓形變成弓形,其面積仍有 (2) 之形式,但相應數值成
(cv + v2)﹝見右上圖﹞,即 (1) 式。
又據注文所云
cv 是為“黃冪”,
v2 是為“二青冪”。
下圖之 ΔABC是為“黃冪”,
v2 是為“二青冪”,即左右兩梯形面積。
以下為黃冪與青冪圖:
《九章算術‧卷一‧方田》有以下之例:
今有弧田,弦三十步,矢十五步。問:為田幾何?
答曰:一畝九十七步半。
解:
從上可知 c = 30 ,v = 15,代入以上公式 (1) 得:
(cv + v2) =
(30 × 15 + 152)
=
(450 + 225)
=
× 675
= 337
﹝方步﹞。
若 1 畝有240 方步,則337
方步 = 1 畝 97
﹝方﹞步,合所問。
《九章算術‧卷一‧方田》作一畝之定義如下:
以畝法二百四十步除之,即畝數。百畝為一頃。
淳風等按:
一畝之田,廣十五步,從而疏之,令為十五行,則每行廣一步而從十六步。又橫而截之,令為十六行,則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步,各自為方,凡有二百四十步。
“疏”,解釋也。因古人無“方步”之概念,為表示方步,通常表示為一長方形,其闊為一單位。例如一畝田,可以以下圖表示:
以上長方形面積為 240方步,但古人仍稱之為“240步”。朱世傑《筭學啟蒙‧總括》曰:
按畝法:闊一步,長二百四十步。
《筭學啟蒙》之意指一畝為 240方步。在《九章算術》中,李淳風對一畝田作如下之闡釋:
令為十五行,則每行廣一步而從十六步﹝下右圖﹞。
又橫而截之,令為十六行,則每行廣一步而從十五步﹝下左圖﹞。
以上兩長方形之面積均為 240 方步,即一畝。從,同縱。
《九章算術》李籍音義曰:
畝法,莫厚切。司馬法,六尺為步,步百為畝。秦孝公之制,二百四十步為一畝。
故 1 畝有 240 方步之制乃始於秦,其後歷朝皆用之。
《九章算術‧卷一‧方田》有另一題如下:
又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。問:為田幾何?
答曰:二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
c = 78
=
,v = 13
=
,又依以上公式可得:
[
×
+ (
)2]
=
(
+
)
=
(
)
=
= 635
﹝方步﹞。
635
方步 = 2畝155
方步。
本例之一畝亦為 240方步。
以下為元‧朱世傑《筭學啟蒙‧總括》提及之“畝法”:
第 2 節 《九章算術》之矢弦求圓徑法
《九章算術‧卷一‧方田》劉徽注文尚涉及已知矢、弦而求圓徑。
已知矢、弦而求圓徑與弧田面積之公式迥然不同。引文曰:
句股鋸圓材之術,以弧弦為鋸道長,以矢為鋸深,而求其徑。
古人鋸圓木材,以 CM 為矢為鋸深,其長為 v,以 AB 為弧弦為鋸道長,其長為 c,有 v 有 c,而觸發求圓徑之想。 今設圓直徑為 x,以下為鋸深鋸道長求圓徑圖。
從圖可知 OM + MC = OC,在直角 ΔOBM 中,OM =
,
MC = v ,OC =
x,即:
+ v =
x
=
x – v
–
=
– xv + v2
–
= – xv + v2
xv = v2 +
x =
(v2 +
)
x = v +
。
《九章算術》清‧編纂官案曰:
此謂弧矢形求圓徑,其術以弧弦折半自乘,矢除之,加矢,為圓徑。
改寫成算式如下:
弧弦折半自乘,即:(
c)2 =
,
矢除之,即:
,
加矢,即:v +
,為圓徑。
《九章算術》注曰:
既知圓徑,則弧可割分也。割之者,半弧田之弦以為股,其矢為句,為之求弦,即小弧之弦也。以半小弧之弦為句,半圓徑為弦,為之求股。以減半徑,其餘即小弦之矢也。割之又割,使至極細。但舉弦、矢相乘之數,則必近密率矣。
已知矢、弦而求圓徑其實是割圓術之初步,割圓術最終為求圓周率之密率,與求弧田面積不相類。
以上引文意指求得圓徑後,則弧可以再二分,弧 ACB 二分成AC 與 CB,弧 CB 可二分成 CN 與 NB,ON 為圓半徑,CB為弦,兩者算出後,以句股定理算出 OP 之長,PN 之長亦可得,在直角 ΔCNP 中,可算出弦 CN 之長,再將CN 平分,又可算出介於 CN 之間之兩相等弦,步驟可繼續,如此可算出一非常精密之圓周率。
《九章算術》注又補充曰:
若但度田,取其大數,舊術為約耳。
其意指若量度田地之面積,取其大約之數即可,式 (1)之面積公式可用。