第14讲 典型例题与练习参考解答：一元函数微分、局部线性化及其近似应用
本文对应推文内容为：
第14讲：一元函数微分、局部线性化及其近似应用
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：试求, ，其中
练习2：求函数 在处取时的函数值的增量与微分．
练习3：设 在 处连续，试求在处的微分．
练习4：求下列函数或等式确定的函数的微分．
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
练习5：设 由方程
确定，求.
练习6：证明近似公式
其中，很小，且 ．
练习7：求下列函数值的的近似值.
(1) ；
(2) .
练习8：将麦克风插头视为圆柱形, 截面半径，长，为提高它的导电性能，要在插头侧面镀上一层厚为的纯铜, 试估算一下镀一个这样的插头需要多少克铜？(铜比重为) .
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：试求, ，其中
【参考解答】：由于，故
练习2：求函数 在处取时的函数值的增量与微分．
【参考解答】：由增量与微分的定义，有
练习3：设 在 处连续，试求在处的微分．
【参考解答】：由于在处连续，于是
故.
【注】因为没有给出可导的条件，千万不能直接对利用乘法法则求导！
练习4：求下列函数或等式确定的函数的微分．
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
【参考解答】：(1) 【思路一】 由求导乘法法则与复合函数求导法则，有
于是可得
【思路二】 由微分的四则运算法则与形式不变性，得
(2)【思路一】 由求导运算法则，得
由此可得
【思路二】 由微分的四则运算法则与形式不变性，得
(3) 由求导法则，得
于是可得微分为
(4) 由微分形式的不变性与四则运算法则，对等式两端微分，得
解得
(5) 由微分形式的不变性与四则运算法则，得
解得
练习5：设 由方程
确定，求.
【参考解答】：【思路一】 由隐函数求导方法，对等式两端关于求导，得
求解关于的方程，得
【思路二】 由微分的形式不变性，对等式两端微分，得
练习6：证明近似公式
其中，很小，且 ．
【参考解答】：设，则
且, ，当很小时，由微分定义
代入的表达式，得
练习7：求下列函数值的的近似值.
(1) ；
(2) .
【参考解答】：(1) 设，取
则. 所以
(2) 由， ，由近似计算公式
可得
练习8：将麦克风插头视为圆柱形, 截面半径，长，为提高它的导电性能，要在插头侧面镀上一层厚为的纯铜, 试估算一下镀一个这样的插头需要多少克铜？(铜比重为) .
【参考解答】：由， ，，，故所需要的铜为
相关推荐
高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！课件PDF文档请到QQ群文件分享下载！
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项