学习 || 方运加：算术的数学教育地位不可削弱
与其他用于启蒙儿童的知识相比较，算术知识的高度抽象性是显然的、广泛的应用性是公认的；算术是由浅入深、循序渐进、事理通达、道法自然的知识系统.更重要的，算术是拥有厚重历史积淀的传承体系，具有顺理成章的逻辑便利性，适合小学生学习.以数字1为例，人类对这个数字的抽象过程历经数万年，但从数学角度科学确定其地位和属性则是近百年内的事.这样一个简单的、打头的数字，融具体、直观、抽象于一身，掌握了，就一通百通、一悟百悟.这种属性的知识只在算术中有.学生学习抽象方法、学习规则思考、学习由简单生成复杂或将复杂归结于简单的思考方法就是从学习数字1开始的.算术是研究加、减、乘、除运算的,是融简单与复杂于一体的不二知识系统.
先学算术，再学代数，是数学教育规律，有公认且清晰的内容界定，属于基础教育常识.但近些年，从域外传来了“算术思维”和“代数思维”的说法，并且成了热门话语.有说算术思维是逆向思维，代数思维是顺 向思维的；有说算术思维是根据条件推理算出结果的思维，每一步都有思维根据;还有认为：小学数学应重点发展学生的代数思维，小学数学教师首先要重视对学生代教思维的培养；还有人说算术思维的运算过程是程序性的，代数思维的运算过程是结构性的；也有说算术思维与代数思维展现出某种承接关系，并引用数学史学家弗洛里安·卡乔里（Floran Cajori 1859-1930）的话“要探索算术的最好方法，就是研究代数.”但卡乔里说的是算术和代数的关系，并没有提及“算术思维”与“代数思维”.总之，林林总总、雾起尘扬，明白无误的数学及其教学交错于各种各样的观点、认识、说法中，有些似是而非、模糊不清了.
若将历史看作舞台，场景不同，但剧情雷同的戏并不鲜见.早在20世纪初，中国教育领域就出现过“被现代化”现象.起初，中国的新文化人对西方社会的认识有些简单，西方文明被某种简单的色调所涂染，致使追求新思想的'新学人很容易被所译介的思想引导，辨析的能力还十分有限,对西方文明针对于中国的意图还看不清楚.所幸的是，以李大钊、瞿秋白为代表的中国先进知识分子对来自西洋的话语及其所谓的现代性进行了冷静的思考及辨识.尤其是鲁迅先生，面对大量引入的外来思想，采取了辨别优劣，择善而用的行动.历史是一面镜子，与这段历史相似的一幕自上世纪九十年代开始又在数学教育领域上演，来自于西方的打着先进幌子的数学教育思想、理念汹湧而至，作用于课改、影响至今天.外来流行语及相应观念充斥教研,违背数学学习规律的教学或教材对数学教育形成冲击.学习先进、追求变革，没错！但要注意别让人家带进沟里去.
孙老师在文章《从学生的视角看一次函数的教学》中提到"一次函数是学生从算术思维（一个未知的数）到代数思维（一种对应关系）发展的重要知识载体”，并讨论了这两种思维的区别.无独有偶,2020年6月，某报以大标题刊文提出"科学认识和培养小学生代数思维”，并说在小学阶段发展学生的代數思维已经成为全球共识，文中据此探讨了如何培养小学生的代数思维.
近段时间，阐述类似观点和要求的文章不少，更有名师报告、专家讲座都高调宣讲在小学阶段完成从算术思维过渡至代数思维之法，强调以发展小学生代数思维为小学数学教学目标.只是他们无一例外的拿不出充足理由来支撑这个说法，倒显露出我们的这些同行看可能既不了解代数也未曾深入研究过算术，更未系统研究过数学教育的规律,甚至不了解小学生数 学课程学习的基本目标和任务的来龙去脉.自然，也不排除有的人只是为了赶时髦，听风是雨，迎头拼凑一些有关代数和算术的流行说法来诠释所谓"算术思维”和“代数思维”.在这类表述中，语病频出、概念混乱几成常态，经常将算术和算术思维等同、代数和代数思维混用.概念不清是数学学习的大忌，数学教师为纠正这类问题所费功夫甚巨.凡系统学习过算术和 代数的教师都知道，这二者之间并非是后者取代前者的关系.
仅从初等数学的运算方法或规律看，初等代数运算过程基本是算术的，只比小学算术运算多了乘方运算和开方运算；若认为乘法是对加法运算的扩张，则乘方可看作是乘法的特例，开方则是乘方运算的逆运算，都属于算术运算的扩展，二者均源于"自乘”概念， 而没有"自乘”就没有代数，自乘仍属于算术动作.从这个意义上讲，如果将“代数思维”与代数、"算术思维”与算术混用，那么同行们的“过渡”或“取代”的说法多少反映了对算术知识的误解.实际上，中学代数 (初等代数)的骨架基本是算术的，必须用算术提供的方法来建立或揭示已知量和未知量间的关系.
中学阶段所学的代数运算本质上仍是算术运算. 阿拉伯数字和英文字母、希腊字母都可作为数学符号，符号系统的选择或写法不是本质，反映本质的是关系，即无论是算术还是代数都需要根据已知量来获取未知量，这是二者的共性关系.采用字母表示未知数，通过代数运算将未知变为获知，这些过程都离不开算术运算.合并同类项、去括号、等号两边同乘同减 同除、移位变形、解方程、求公倍式、分解质因式，根本上运用的都是算术运算——加减乘除.
初等代数运算与算术运算并无质的区别.至于高中段所学的初等函数，那是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的；基本初等函数包括幕函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.凡属初等函数，其自变量在某一范围内的每一个确定的值，按照对应法则，因变量都有唯一确定的值与其对应.函数之所以有这个“单值对应”的要求，根本上是为了使自己能够成为算术运算的对果，以确保得到确定性的运算结果.试想，若函数不具有单值性，其算术和还具有确定爲值吗？若连加法求和都无法实施，这函数还能够作为数学研究的对象吗？顺便说一下，算术的四则运算关系都可以概括为函数关系，四则运算结果的确定性就是单值性.
历史上，数学家的一个很重要的努力方向就是尽量将数学的新对象、新方法的运算算术化.加减乘除是方便且有利于常人理解的捶地气的运算，起码在数学专业课程高等代数和数学分析中，四则运算也是家常便饭.加减乘除与微分、积分有很好的共生合作关系，导数、微分、积分离不开四则运算，不信请翻任何一本高等教学书看看.定积分定义中的分割、求和、取 极限，求和就是算术和；高等代数中的多项式理论、矩 阵运算，哪个能离开算术运算.再复杂的数学关系也难违算术原则.抽象代数的群、环、域概念主要体现为 各类集合上的加乘关系的结构性概括.
基于算术的基础性、通用性，尽管其产生已有数千年历史，但公理化、严密化却是最近一百多年内的事，比几何公理化晚了两千多年，比微积分理论的严密化也晚了好几十年，是较晚才被数学家们意识到的不可或缺的奠基性工作.因为算术太重要、太基本，出于数学基础牢固安全的考虑，19世纪中叶，格拉斯曼 (Grassmann)首次挑选出一个基本公理体系来定义加法与乘法运算，而算术的其他命题都可以作为这个体系的逻辑推断.20世纪初，皮亚诺(Peano)完善了格拉斯曼的体系，给出了现在的小学数学教师应该人人熟悉的自然数公理系统，若能将凝聚于这个公理系统的 思想搞通搞懂，对小学算术教学必定会功莫大焉，学生也就有守能真正掌握基本的算术方法.自从数学家们补上了算术严密化这一课，以算术为基础的数学的各领域或各方向可以放心的大行其道啦.
孙老师在文中提到的数学的形式上的符号操作这个事，不该是指初等代数.適常，凡离不开加减乘除运算的学问都不属于"形式上的符号操作".形式操作一类的活计很可能指的是数学领域的极度抽象的那个部分，诸如符号逻辑、范畴论、公理化集合论这类专以抽象为己任，以整个数学科学为研究对象的具有高度概括性的学科，属于元数学范畴.
说点掏心窝子的话，掌握了算术知识的初中学生对于拥有算术架构的初等代数或平面几何容易产生亲近感，关键在于教师要从根本上理解这些初等数学知识，掌握初等数学的方法与技巧.千万别小看算术，她包括了数学的一些基本思想.数码"1、2、3”、符号“+”从产生起就具有高度的抽象性.我听过几节“认识10以内的数”的课，看过一些相关教案，把1、2、3教得令人满意或对相关知识能够深解其意者，不多！由阿拉伯数码和+—x+()=等符号组成的算式都是货真价实的"一句顶一万句”的数学真理，是数学抽象的代表作.须知，初等代数因并不反映代数学的全貌而具有的局限性决定了它是过渡性知识，在这个基础上归纳出的所谓“代数思维”不可能表达代数学价值，且从各种流行说法可知，一般都非常狭隘的认为“用 字母表达未知数的思缱叫作代数思维".所以，这个层面的代数认知就别滥用“思维”二字吧！若依此论，咱们早在春秋战国时代就有“代数思维”了，只是那时曾用文字符号而不是现今的字母符号罢了.无论采用什 么符号，目的都是让未知量参与运算，若依此命名这是“代数思维"，远不能反映代数思想及方法的全貌，代数学也并非由此而生.字母代数的思想很重要，但并不构成代数的基本思想体系.初中数学的列代数 式、解代数方程是过渡性、体验性的知识，局限性早在两百年前即已为人所识，很快，当学生学习了高等数学、抽象代数之后，除了从事初等数学教学的，几乎很少有人再提初等代数方法（初代），对绝大多数人来说，算术较之初等代数更具实际应用的机会.
代数学的大戏以19世纪数学家阿贝尔、伽罗瓦拉开近现代意义上的代数学大幕为标志，他们开创了对数学结构、数学关系的研究并使之成为代数学的主流.另外，数学中的非代数方程有很多，例如初等数学中的包括指数方程、对数方程、三角方程在内的超越方程，其重要性绝不低于任何初等代数方程.何不打造个“超越思维”来凑热闹.若以这种方式冠名数学中 的重要知识，那可多了去了！它们各有定义、各有功能，也各有局限，但都属于人类的思维成果.思维是复杂的，思维是丰富的，数学思维的成果不必用数学概念来分类，思维的事还是要由心理学或脑科学来说话，没有必要用这种方式来界定或分类数学思维.这样做，数学家不会接受，心理学家也不会认同，真正的教育家也不会支持的.因为这样定义思维会使被定义 概念离常识越来越远，除了造成概念混乱，并无其他意义.这样做不符合数学思考的规律.数学有思考方法，有独特思路，有观点，有大量的思想成果可传播可应用，所有这些与那些不反映数学概念实质的词藻毫无关系，数学思想体系绝不接受多余的、无关的词语，也不为繁琐冗余的诠释所累.这个学科特点，值得包括教育学在内的其他学问好好学习.
现在流行冠名"核心概念”，从各种教研文章中随便就能列出许多被赋予核心地位的概念.若要凑这个热闹，本文的“核心概念"就是“算术”.小学阶段的算术为从中学到大学的数学学习设置了主线.算术学好了，后面的事好办.小学数学教师，无论是博士还是特级，亦或是名师，搞清算术的理论，讲好算术的知识，只要能使学生懂了、掌握了，之后再学代数，无论是初等代数、高等代数还是抽象代数，就都不会感到困难. 鼓动小学生掌握代数思想和方法的要求是不切合实际的，会荒了自己的地，糟蹋了别人的田，进而耽搁了孩子们的智力发育.总之，小学数学别丢了算术，初等 代数教学要充分借助小学算术的势，而不是断然取代；小学算术和初等代数是耦合关系.
作者：方运加
来源：《中小学数学》2020.10中旬（初中）