角的定义还是用射线的好
——对张奠宙先生《教材处理宜朴素自然、平易近人——关于小学数学教材里“角的认识”》一文的学习和质疑
合肥市南门小学上派分校 陈昱
著名数学教育家张奠宙先生生前十分关心小学数学教育，晚年带病坚持研究和撰写针对小学数学教材的“评论与建议”系列文章。张先生对基础教育的拳拳之心令人感动，张先生高屋建瓴的指导性建议给予我们一线教师很多启发，张先生的批判性思维值得我们学习。在学习《教材处理宜朴素自然、平易近人——关于小学数学教材里“角的认识”》这篇文章过程中，笔者在深受教育的同时也产生了一些疑问，下面谈谈这些疑问和思考。
文中张先生提出“用射线定义角，华而不实，弊多利少”，随后给出4条反对理由。笔者对这个观点持质疑态度，对“用射线定义角不可取”的4条理由也不能接受，遂逐一反驳如下：
理由1：射线是画不出来的，只存在于想象之中。画在纸上的射线仍旧是线段。用手电筒、探照灯之类的光线比喻，并无科学价值。
对理由1的反驳：
1.射线画不到纸上？看你怎么画！线段、射线和直线有不一样的画法，都是用图画表征这些概念，它们的画法不同，对应着不同的性质，比如：线段有两个端点，长度有限，所以在两端突出画了“端点”；射线有一个端点，向另一端无限延长，所以只突出画一个端点，另一端没有突出画端点表示延长至无限；直线没有端点，向两端无限延伸，就不突出画端点（见图1）。
图1
2.如果说射线画不到纸上，那么画不到纸上的岂止射线？点能画到纸上？线能画到纸上？点线面及它们组成的所有的几何概念应该都只存在于我们的想象之中！画出来的都只是一种表征，能示意即可。
在其他文章《分数相等性质的数学内涵——兼及角的定义》《分数基本性质与等价类》中张先生表达了同样的看法。对于“射线是画不出来的，只存在于想象之中”、“射线是头脑里构建出来的东西，在现实世界里是没有的。我们能够画出来的实际上只是线段”这样的理由，笔者的理解是：之所以张先生说射线和直线“画不出来”，针对的是射线和直线长度的无限性，即“射（直）线无长短”，在有限的纸面上是画不出来的。既然“射线无长短”画不出来，那么“无粗细”的线段就能画出来了吗？为什么张先生只注意到“无限长”而忽略了“无限细”呢？既然“无限长”画不出来，那么“无限细”也应该画不出来；之所以能够画出“无限细”的线段，是因为我们画的是示意图，或者说是线段的图画表征；反过来，既然“无限细”的线段可以表征（画）出来，“无限细”又“无限长”的射线和直线也可以表征（画）出来。
3.如果像射线这样因“画不到纸上”就不采用，那干脆不要直线、射线好了，那么整个几何学大厦还可以矗立吗？
4.手电筒、探照灯的光线只是射线的一种“比喻”，何必苛求“科学价值”？在这一点上，很多人都认为线段可以从现实世界抽象出来，比如学习线段的时候很多老师喜欢举例：一段拉直的细线，桌面的边缘，房间的踢脚线等等，大家这样用，觉得没有什么不可以的，因为有个“抽象”的过程。其实，手电筒、探照灯的光线之于射线，作为一种现实比喻未尝不可，只不过这次不但需要“抽象”，还需要动用另一种能力那就是“想象”——从能力培养上看，这更有教学价值。
理由2：射线在数学上不重要。在整个小学阶段，射线只在这里出现一次，没有更多的用处。有没有射线无关数学大局。
对理由2的反驳：
1.重要与否是相对的，仅以“出现次数”作判定标准有失武断。
2.射线并非如此“不堪”，比如它多次以数射线的形式出现在小学数学中，试问，数射线不重要吗？
射线还在坐标角中多次出现，小学阶段只涉及第一象限的各种统计图就有横纵轴，这也是射线。这不重要吗？
在学习图形的运动旋转时，史宁中教授认为“旋转的参照物是一条射线而不是点，因为只有一个点无法判断是否旋转，还必须确定方向。”有了射线，旋转的概念才足够清晰。射线不重要吗？
3.“有没有射线无关数学大局”也许是对的，但是有没有射线肯定会关系到学生数学学习的细节，肯定关系到学生对“无限”的想象力和无法用语言表达的对“无限”与“有限”的参悟。个人觉得这种想象和参悟特别重要。
理由3：当用红色粗体字给出角的定义之后，理应对二年级时的角的认识进行新的加工，将那里的角的顶点都加粗，形成角的线段都改成射线才是。可是，教材里没有这样做。这就是说，用射线表述角并没有对角的认识有任何提高，还是停留在直观水平上。
对理由3的反驳：
1.这条理由的前提就不符合事实，张先生将人教版二年级“角的认识”对角的处理解读为“自一点出发的两条线段所形成的图形”——这是没有根据的！根据该版教材四年级对角的呈现与定义，明确指出“从一点引出两条射线所组成的图形叫做角（见图3）”，可见该版教材认为角的边是“射线”。
二年级是角的初步认识（见图2），没有给出明确的文字定义而已，这套教材对角的定义是一以贯之的，并不存在张先生所言“线段改成射线”，压根一直就是“射线”！造成误解的原因还是张先生对“画法”的“不认同”或“不了解”。
图2
图3
2.关于角的画法，一开始认识时强调一下顶点加粗了它，以后不必一直强调一直加粗；角的边画的明明一直是射线！从未画顶点之外那个端点！
3.第一段（二年级的初步认识）和第二段（四年级的角的学习）有明显的认知水平的提高：从初步感知到明确定义，只不过可能不是张先生心中的那一种而已。
理由4：角的射线定义以后再未正面引用。形同虚设，没有实际功能。更离奇的是，在紧接着的“做一做”所画的图形中，各个角的顶点并不加粗，角的边也不用射线表示，依旧是二年级的老样子。
对理由4的反驳：
1.问题的焦点仍然是张先生对画出的角的射线边视而不见，硬是按照自己的理解说成是线段，并仍旧苦苦纠缠顶点的加粗！这些形式上的偏见遮蔽了教材对角的定义的内容，那就是一个顶点引出两条射线组成的图形。这一教学关键不是在形式上的强调，而是学生对角的概念实质的理解。
2.角的射线定义最能说明角的大小与画出的边的长短无关，而只决定于两边的张口大小。怎么是“虚设”呢？因为角的边是向一边无限延伸的射线，可以画长点也可以画短点，在具体的图形中则可以截取或长或短不同的长度。
我们应该区分“角的边”VS“画出的角的边”。就如我们在纸上画出的“线段”“射线”和“直线”有别于这些概念本身一样。
《几何原本》对角的本质说得很清楚：两条直线相交，如果不重合，那么一条直线相对于另一条直线的倾斜程度叫角。用“射线”定义角更接近角的本质，这是学生学习几何知识所必备的。在这个问题上笔者赞同谢莹和任敏龙在《教材处理宜追本溯源、还其自然》一文中的观点：“把角的两边定义成射线，射线无需比较长短，那就只剩下研究张开度了。显然，相对于线段定义来说，用射线定义的角的概念更精确地界定了所要研究的问题。”
其实，张先生那种“线段定义边＋等价类”的路子也可以，但随着学生学习的加深，最后还是要发展到“射线”上，且学生的理解难度并不比原先“射线定义边”的小。让我选择，我更赞同教材上的处理。既然学习点线面等几何概念，学生就必须要去逐渐理解“直线无长短”“线无粗细”“点无大小”“面无厚薄”等等诸如此类的性质。很抽象。角本身就是抽象概念，数学本身就是抽象的。相当然地认为学生能够理解线段而不能够理解射线，是没有根据的。
笔者是没有高等数学学习基础的一线教师，在斗胆根据自己的理解和思考来反驳张先生关于角的射线定义的建议时，肯定存在数学上的一些不足和漏洞，恳请各位批评指教！并对张奠宙先生在“评论与建议”系列文章中的珍贵论述和指导表示最崇高的敬意！