导数的几何意义

基于HPM视角下的高中数学系列微课(第600期)

费马求切线的方法

17世纪，费马对切线进行了深刻的研究，进一步开启了导数诞生的新纪元。如果有一条给定的曲线，如何求曲线上任意一点处的切线呢？在费马1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中给出了一种求切线的方法，设PT是曲线上一点P处的切线（如图所示），TQ的长称为次切线，我们可以通过知道T的位置来得到TP。设QQ₁为TQ的增量，长度为n，因为显然可知△TQP∽△PRT₁，所以TQ:PQ=n:T₁R，而当点T非常接近点P时，我们可以认为T₁R和P₁R差不多长，因此TQ:PQ=n:(P₁Q₁-QP)，用现在我们熟知的符号来表示，把PQ叫做f(x），于是得到TQ:f(x)=n:[f(x+n)-f(x)]，即

，从而可以得到PT的切线斜率为

。