分类讨论想说爱你不容易

一直以来，学生对动点问题都感觉比较难，尤其是还涉及到分类讨论的时候，更感觉无从下手，但动点问题又是初三常考甚至是必考知识，故我今天想尝试解读一道分类讨论的动点问题，希望对正在努力奋战的学生能有帮助，我们首先需要明白动点问题，本质是小学的行程问题，我们看下图，动点C从A到B运动，那么这里我们把A、B看成两个城市，C看成是行动的车辆，那么AC显然是已走的路程，BC是剩余路程，其实我们的动点问题，不外呼也是这样两种情况，比如我们这里说AB长为10cm，C每秒前进2cm，运动的时间为t，那么AC=2t，BC=10-2t,这就构成了我们解动点问题，最简单的表示，在配以特定的几何情景，常见不外乎垂直（形成直角三角形），相等（等腰三角形），面积，相似，特殊四边形这几种情况，只要我们能掌握好这几种情况的表示方法或图形的性质，自然能顺利解答.

那么，我们还是以一个试题来说明，废话不多说，直接原题呈现：

如图， △ABC, CO⊥ AB 于O, OA = 8, OC = 6 ，且 AB = AC ．

（1）求OB 的长；

（2）如图②，若点 E 为边 AC 的中点，动点 M 从点 B 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 BA

向点 A 匀速运动，设点 M 运动的时间为t （秒）；

①若△OME 的面积为 2，求t 的值；

②在点 M 运动的过程中，△OME 能否成为以OM 为腰的等腰三角形？若能，请直接写出此时t 的值，若不能，请说明理由．

③如图③，在点 M 运动的过程中，△OME 能否成为直角三角形？若能，求出此时t 的值，若不能，请说明理由．

这个题第一小问特别简单，直接用勾股定理就可以解决，这里就不过多分析，直接给出解题过程：

我们现在来看第二问的第1小问，首先我们应该明白三角形的面积公式是底×高÷2，在这里很E点确定，自然高就确定，具体求高的过程如下：

高既然确定了，又知道△OMF的面积为2，自然很快求出OM=4/3，因为0B、AO都大于2，显然这里有两种情况，一种情况是M在OB上，另一种情况是M在AO上，这样逐层去分析，自然不会漏掉任何情况，具体解题过程如下：

接下来，我们继续思考第2题第2小问，在点 M 运动的过程中，△OME 能否成为以OM 为腰的等腰三角形？首先我们看△OME中有没有确定线段，答案是肯定的，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么OE自然等于5，再思考以OM为腰，那不外呼两种情况，一种是OM=OE，一种是OM=ME，当OM=OE=5时，显然OM大于OB，故OM只能在AO上，当OM=ME时，显然M在OE的垂直平分线上，故M只能在OA上，那我们怎样去求时间呢？第一种情况很好求，因为BM=OB+OM=7，再除以速度2，自然知道是3.5，在这里我们先给出第一种情况的求解过程，具体过程如下：

那么我们现在重点讲解第二种情况怎么求，我们先看下图来分析：

我们来看，已知OM=OE，这里如何求出OE，求线段长常与面积，相似，勾股定理密不可分，那我们看由于OM=OE，自然可求出∠OEM=∠EOM=∠A，这样我们可以由子母型相似求出OM，从而求出t，具体过程如下：

那么显然这道题就有两个答案为3.5或41/16，那么第二种情况还有其它求法没有呢？我们先思考等腰三角形具有什么性质？最容易联想到的自然是三线合一，故我们有解法2，具体过程如下：

这道题其实我们还可以由射影定理去求，这里就不赘述，我们其实联想第2题第1小问，自然容易想到勾股定理，具体解题过程如下：

当然，这里用面积去做，感觉难度挺大，无从下手，不过，这里有这么多数据，我们完全可以去建系来求，具体过程如下：

我们可以看，只要有数据的题只要建系，几乎就是无脑运算，而且很容易搞定，这就像给题加上了一对翅膀，自然可以更好的处理各种难题，接下来我们来看第二题第三问，如图③，在点 M 运动的过程中，△OME 能否成为直角三角形？若能，求出此时t 的值，若不能，请说明理由．那么我们首先看，∠EOM不可能等于90°，故只考虑两种情况，一是∠OME=90°，二是∠OEM=90°，那么我们首先来看∠OME=90°，显然此时ME为△AOC的中位线，故OM=4，所以BM=6，可求出时间为3秒，具体过程如下：

我们继续思考∠OEM=90°的情况，先看下图再分析：

我们首先应该可以看见∠EOM=∠A，∠OEM=∠AOC，故△OEM∽△AOC从而可求出OM的长，进一步求出BM后可求时间，具体过程如下：

我们继续联想直角三角形，可以考虑射影定理和一线三直角，故有以下两种解法，具体过程如下：