人工智能数学基础--微分：定义、运算以及应用
一、概念
1、定义
设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数的增量
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
可表示为：Δy=AΔx+o(Δx)
其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而AΔx叫
做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即：dy=AΔx 。
2、函数可微的充要条件
函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导，且当f(x)在点x0可微时，其微分：
dy=f’(x0)Δx
当f’(x0)≠0时，有：
从而，当Δx->0时，Δy与dy是等价无穷小，于是有：Δy=dy+o(dy)，即dy是Δy的主部。又由于：
在f’(x0)≠0的情况下，dy=f’(x0)Δx，是Δx的线性函数，所以dy是Δy的线性主部（Δx一>0时）。
注：如果α和β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，如果β=α+o(α)，则称α是β的主部。
在f’(x0)≠0的情况下，以微分dy=f’(x0)Δx近似替代增量Δy时，其误差为o(dy)，因此在Δx很小时，
Δy≈dy 。
3、函数的微分
定义：
函数y=f(x)在定义域内任一点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df(x)。自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即：dx=Δx 。
函数的微分可以记作：
dy = f’(x)Δx = f’(x)dx 。
从上式可以得知，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于函数f(x)的导数，因此导数又叫微商。
二、微分的几何意义
在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线，对于某一固定的x0值，曲线上有一个确定点M(x0,y0)，当自变量x有微小增量Δx时，就得到曲线上另一点N(x0+Δx,Y0+Δy)。
从图2-11可知：过点M作曲线的切线 MT，它的倾角为α，则：
QP=MQ×tanα=Δxf’(x0)，即dy=QP。
由此可见，对于可微函数y=f(x)而言，当Δy是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当|Δx|很小时，|Δy-dy|比|Δx|小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。这种思想方法在自然科学工程问题的研究中是经常采用的。
三、部分基本初等函数的微分公式
由于函数y=f(x)的微分为：dy=f’(x)dx，因此初等函数的微分可以根据其导数直接推导出来，下面是部分初等函数导数和微分的对照表：
四、微分运算公式
微分运算可以根据导数运算直接推导出来，下面是导数和微分运算公式的对照表：
五、复合函数的微分法则
与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：
设y=f(u)及u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的微分为：
dy=y’xdx=f’(u)g’(x)dx
由于g’(x)dx=du，所以，复合函数y=f[g(x)]的微分公式也可以写成：
dy=f’(u)du或dy=y’udu
由此可见，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dy=f’(u)du保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时，微分形式dy=f’(u)du并不改变。
六、微分在近似计算和误差估计中的应用
1、近似计算
如果y=f（x）可导，在点x0处的导数f’(x0)≠0，由于：
Δy = AΔx+o(Δx) = f’(x0)Δx+o(Δx) ≈ f’(x0)Δx
因此可以表示为：
Δy = f(x0+Δx)-f(x0) ≈ f’(x0)Δx
f(x) ≈ f(x0) + f’(x0)(x-x0)
如果f(x)和f’(x0)都容易计算，则可以用上面的2个公式近似计算Δy或f(x) 。
利用上述公式，取x0=0，则可以推导得到如下常用公式(下面都假定|x|是较小的数值)：
(1+x)α ≈ 1 + αx (α 属于 R)
sinx ≈ x (x用弧度作单位来表达)
tanx ≈ x (x用弧度作单位来表达)
ex ≈ 1+x
In(1+x) ≈ x
案例：
2、误差估计
在生产实践中，经常要测量各种数据。但是有的数据不易直接测量，这时可以通过测量其他有关数据后，根据某种公式算出所要的数据。
例如，要计算圆钢的截面积A，可先用卡尺测量圆钢截面的直径D，然后根据公式A=πD2/4 算出A。
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。
下面讨论怎样利用微分来估计间接测量误差。先说明绝对误差、相对误差的概念。
如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与|a|的比值叫做a的相对误差。
在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内。
如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a，又知道它的误差不超过δA，即
|A-a|≤δA，那么δA，叫做测量A的绝对误差限，而δA与|a|的商叫做测量A 的相对误差限。
一般地，根据直接测量的x值按公式y=f(x)计算y值时，如果已知测量x的绝对误差限是δx，即：
|Δx| ≤ δx
那么，当y’≠0时，y的绝对误差：
|Δy| ≈ |dy| = |y’||Δx| ≤ |y’|δx
即y的绝对误差限约为：
δy = |y’|δx
y的相对误差限约为：
δy/|y| = |y’/y|δx
以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差。
案例：
七、小结
本文介绍了微分的定义、常用初等函数的微分、微分的运算以及微分在实际使用中的应用。
说明：
本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。