极值点偏移的思维导图

点评:2011 辽宁和 2016 全国 1 是一致的,但 2011 辽宁题目是构造了函数,2016 在此基础上增加难度,即需要自己构造函数, 有人把这类问题定义为“极值点的偏移”,“天津一出,全国漂移”指的是 2010 天津卷考查了“极值点的偏移”,全国各地到处涌现类似的题目,甚至有老师总结了几百页,在技巧上作了大量的文章,造成了巨大的浪费。
除了二次函数以外,绝大部分函数的单调性并不具有对称性,岂不都是极值点偏移,这是对极值点偏移认识的泛化,最后导致学生和老师都驾驭不了。
从根本上来说,由函数值相等研究自变量的关系,一般说来,等量关系考查对称性,不等关系则考查单调性,而利用单调性比大小的关键在于把变量转化到同一个单调区间,于是借助对称构造函数,恰好能实现这一目标。其实可以视为最简单题目“偶函数 f (x ) 在 [ 3 , 3 ]单增,证明  f(1-) < f(2) ”的拓展。

2011 辽宁给出了辅助函数,2016 在此基础上增加难度,没有给出辅助函数。

改编 1:抓住根本(深圳模拟)

改编 2:打破套路、回归根本或增加新的思考

究两个零点的距离,利用零点存在性定理,二分法缩小零点的范围应该是首选。猜测 2018届成都一诊命题思路是打破学生模型化思考,从问题根本上来思考。

改编 3:由零点距离的范围,反过来求参数的范围

函数有两个零点,参数有对应的范围,进而根据对称性找到两个零点和的范围,反过来,给出零点的不等关系,反过来如何求参数的范围。2010 天津给出了这样的思考。

改编 4:固本、强基(基本观点)

改编 5:破旧除新(形似神不是)

以直代曲是微积分中非常重要的思想,我们重要不等式都可以视为切线放缩,2015 天津文理科第 21 题以三次函数为载体考查借助切线确定凸函数两个零点的范围。

改编 6:神是形不似

改编 7:拓展:零点与极值点相联系的不等关系

因为函数如果不够复杂,又不含参数,总可以借助零点存在性定理和二分法,笔算都可以实现一步一步地缩小两个函数零点的范围。函数的零点肯定与单调性有着紧密联系,这也意味着与极值点有着不等关系,如何去界定这种不等关系,2014 辽宁文理都给出了一个极其特殊的案例。

(0)

相关推荐