统计力学（27）：高度空间的一些特征（简体字版）

5.5 高度空间的一些特征

在第3节的简例中，形象空间共有个形象，也就是说，个位子，每位子可以有两个形象。活动范围是在这空间中的一部分，由总粒子数决定。

在上一节，形象空间是用一度空间中的一些点来定义。每一点是一形象。点的密度是，平均分佈在这度空间內，活动范围是由，即（18）中的决定。（已经定了）。活动范围可看成一球面。在第3节的例子，形象空间可看成度空间中的立方体的个顶点，活动范围的几何意义就不大清楚了。

严格说来，一群有限个分立的点，是没有几何意义的。上节的形象，也可以用各粒子位子的人口表示，度空间的表示法，並非必要。不过，点数既多，几何的观念常常很有用，上节用的度空间，是一个很好的例子。群体的特点是运动变数繁多，形象空间因此和高度数的空间性质有些关系。

在这一节，我们介绍一些高度空间的集合性质，並讨论「大数定律」。

令代表以度向量空间的点，的「长度」定义是

假定是一个很大的数字，像之类。如果至少有一部分的不是零，则

这是一个大数。如果每个都稍稍改变一些，，则

即使不大， 还可以很大，倒过来说，虽然在这空间走了一段长距离，每个的改变仍可以是非常的小。

最特別的是高度空间里的容积，现在看一个球体的容积。令球半径为，容积为 ，球的表面积便为 。常数可以利用以下的积分求出。令

如果改用球形坐标，得

<section role="presentation" data-formula=" \begin{aligned} I &= \int_0^\infty \text{d}R Q" (r)\text{e}^{-\tfrac12="" r^2}="" \&="NC" \int_0^\infty="" \text{d}r="" r^{n-1}="" \text{e}^{-\tfrac12="" c="" \left(\frac="" n2\right)!="" \qquad(30)="" \end{aligned}="" '="" data-formula-type="block-equation">

比较（29）和（30），即得，所以球的容积是

如果半径由增加到，则增加到

即使不大，可以是个惊人大数。因此一个厚度为的圆壳的体积

和球体积（32）相差微不足道，所以球的体积是集中在表层上。

大致说来，高度空间的长度是大数，但容积是「特大数」。

是一个尺度标准。以上这些奇特的性质是因为这空间有极多的方向。