初二奥数精讲——第13讲平行线分线段成比例（二） / 开普饭

一、知识点解析

1. 基本知识

平行线分线段成比例定理：

一组平行线与一组直线相交，截得的对应线段成比例。

2. 基本方法

比例参数：对于比例关系（特别是连比），设其比值为k，则可将其中部分量借助k用其他量表示。

平行线法：过一点（特别是交点）作有关直线的平行线，由此得到成比例的线段。

3. 基本问题

求线段的长（比）：建立待求线段与已知线段的比例关系。

证明恒等式：将等式转化为比例式，然后利用平行线建立比例关系。

证明线段相等：将待证相等的线段分别与两条相等的线段作比，然后证明它们与同一个量相等，从而建立它们之间的比例关系。

证平行：通过线段成比例，证明有关线段平行。

这部分主要考察学生对平行线分线段成比例的了解及掌握。平行线分线段成比例是几何部分的重要应用，这部分题型种类繁多，需要一定的空间想象能力和知识基础，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

如图，在△ABC中，有一内切圆I，分别切BC、CA、AB于点D、E、F，连结ID反向延长交EF于H，连结AH并延长交BC于P. 求证：BP=PC.

分析：我们希望建立含有BP、CP的比例式，为此，可过H作BC的平行线，将BP、CP相等转化为另两线段相等，且恰好与圆心I建立联系。

解答：

例2

如图，C是AB上一点，以AC和BC为边，在AB的同侧作正△ACD和正△BCE. DC与AE交于G，EC与BD交于H. 求证：△CHG是正三角形。

分析：要证明三角形是正三角形，要么证明它的三边相等，要么证明它的三角相等，本题显然从角度出发更加合适。。

解答：

例3

如图，已知：题型ABCD中，AB//DC，AB=a，CD=b，两腰延长线交于M，过M作DC的平行线交AC、BD的延长线于F、E，求：线段EF的长。

例4

如图，在平行四边形ABCD中，EF//AD，AE与DF的延长线交于G，BE、CF的延长线交于H，求证GH//AB.

例5 （哈尔滨市高中数学竞赛题）

如图，直线L1与L2分别切圆周于点A和B，在直线L1与L2上分别取1993个点，A1、A2、。。。、A1993与B1、B2、。。。、B1993，使AAi = (i+1)BBi (i=1,2,…,1993)，并且AiBi的延长线于AB相交于点Mi（i=1,2,…,1993）.试求