初中奥数精讲——第22讲 素数、合数、算术基本定理-答案精讲
一、知识点解析
1. 一个大于1的正整数a，若仅有1与a这两个正约数，则a叫做质数（又叫素数），质数有无穷多个；不存在最大的质数；2是质数中唯一的偶数，且是最小的质数。
2. 若一个正整数a除了1和a两个约数外，还有其他正约数，则a叫做合数。
3. 质数与合数是指正整数范围内的数，1既不是质数，也不是合数，如果b是a的约数，且b是质数，则b叫a的质因数。
4. 算术基本定理：任何大于1的整数a可唯一地分解为是
质数，该式称为a的标准分解式。
5. 利用标准分解式，可以得自然数N的正约数的个数为
这些约数的和为
6. 设p是质数，a，b是整数，若p|ab，则p|a或p|b，特别地，若p|a2，则p|a.
7. 对于一个不很大的正整数N（N>1，N为非完全平方数），先找出大于N的最小完全平方数k2，再写出正整数k以内的所有质数，若这些质数都不能整除N，则N是质数，否则N是合数。要注意此判断方法是有局限性的，对于一个很大的自然数，就难以判断它是质数还是合数了。例如判断359是不是质数，因为359<192，而小于19的质数有2、3、5、7、11、13、17，以此试除359，都不是359的约数，故359是质数。
这部分主要考察学生的对素数、合数、算术基本定理的了解及掌握，这部分属于数论部分的综合知识，这部分需要对代数、因式分解有足够的知识了解，题型变化多，要夯实基础，才能保证在素数、合数、算术基本定理的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1
已知质数p、q满足3p+5q=31，求
的值。
2是唯一的既是偶数也是合数的数，这一点经常考。
解答：
例2 （湖北省荆州市数学竞赛题）
已知正整数p和q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求
的值。
（1）2是唯一的既是偶数也是合数的数，这一点经常考。
（2）用除以3的余数进行分类是常用的分类讨论手法。
解答：
例3
对于任何大于1的自然数n，试证明
是合数。
与因式分解的结合.
解答：
例4
已知p和
都是质数，求证：
是质数。
用除以3的余数进行分类是常用的分类讨论手法。
解答：
例5
已知
是质数，求证：t也是质数。
反证法。
解答：
例6
有人说：“任何七个连续整数中一定有质数。”请你举一个例子，说明这句话是错的。
直接试验，加以反驳，或考虑更一般的结论，予以论证。
解答：
例7 （北京市竞赛题）
41名运动员所穿运动衣号码是1,2,…,41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
（2）能否让这41名运动员站成一圈，使任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
若能办到，请举一例；若不能，请说明理由。
要使相邻两数的和都为质数，显然它们的和都是奇数，进行奇偶性分析即可。
解答：
（1）能办到。注意到41和43都是质数，根据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们都只能是奇数，因此，这排数只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1,3,5,…,41，在每两个奇数之间将所有偶数依次将所有偶数依次反序插在两数空当中，得1,40,3,38,5,36,7,34,…,8,35,6,37,4,39,2,41.这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题设要求。
（2）不能办到。若把1,2,3,…,40,41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，故必有相邻的数同奇偶，由此引出矛盾，故不能办到。
例8
在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，按从左到右的顺序编上号码1,2,3,…,100。每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有的电灯全是关着的，现在100个学生在门外排着队。第一个学生走进屋来，把凡是编号是1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；第三个学生走进屋来，把凡是编号是3的倍数的电灯开关拉了一下。。。最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下。这样做过以后，问哪些电灯是亮着的？
解答：
由于最初所有的电灯都是关着的，所以只有那些拉了奇数次开关的电灯才是亮着的。而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次，全看这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数而定。因此，最后亮着的电灯的编号的正约数一定是奇数，故它们的编号数一定是完全平方数。所以，只有编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的电灯是亮着的。
注：若自然数n有奇数个正约数，则n为完全平方数。
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