初中数学典型题：巧引辅助线构造全等三角形

本文摘自《初中数学典型题思路分析》

类型一、巧引辅助线构造全等三角形

(1)．倍长中线法例题

(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

(3)．利用截长(或补短)法作构造全等三角形

(4)．在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段

【典型例题1】 如图（a），已知在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，CF⊥BD于E，交AB于F.求证：∠BDC＝∠FDA.

【解题思路】三角形中证明两个角相等往往证明这两个角所在的两个三角形全等.但是这两个角很明显不在直接能够全等的三角形中，因此需要构造全等三角形.由于是特殊的等腰直角三角形，因此可以做辅助线为直角的角平分线（方法1）或者构造直角三角形（方法2）。

【答案解析】

方法1  作∠ACB的平分线交BD于G.因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠A＝∠ABC＝∠BCG＝∠ACG＝45°.由∠ACB＝90°，CF⊥BD，可得∠CBG＋∠BCE＝90°，∠ACF＋∠BCE＝90°，所以∠CBG＝∠ACF.因为AC＝BC，所以△BCG ≌ △CAF，所以CG＝AF.因为D是AC的中点，∠DCG＝∠A＝45°，所以△DCG ≌ △DAF，所以∠BDC＝∠FDA.

方法2  如图（b），过A作AG⊥CA，交CF的延长线于点G.则根据条件，∠FAG＝45°，且AG//CB，∠G＝∠BCE.由CE是Rt△BCD中斜边BD上的高易得∠BDC＝∠BCE，所以∠BDC＝∠G.由Rt△BCD ≌ Rt△CAG可得到CD＝AG.因为D是AC的中点，所以AD＝AG，由AF是公共边，得到△ADF ≌ △AGF，所以∠FDA＝∠G＝∠BDC.

【典型例题2】如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

【解题思路】已知角平分线，构造全等三角形，综合利用角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．

【答案解析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，

∵∠1=∠2，AD⊥BC，

∴EH=ED（角平分线的性质）

∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，

∴四边形EFGD是矩形，

∴ED=FG，

∴EH=FG，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

又∵∠AHE=∠FGC=90°，

∴△AEH≌△CFG（AAS）

∴AE=CF．

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