数学能力不在于运算,而是在于数学思维

什么是数学思维?

先跟大家说件最近听说的事儿,大家也练练脑:朋友的公司最近正在招人,由于公司效益好,简历特别多。一开始他们只是设定了专业的要求,没有设置学历的要求。朋友就跟HR说,我们要提高招聘标准,不然面试的人数太多。随后HR就给出了一个新的招人条件——原先只看专业,现在的条件变成“先看专业,如果专业不合格就看学历”,只要学历高,也可以进面试。这就是这位HR理解的所谓“提高”了面试条件。我这个朋友是学理科出身,当时就乐了。

我听了之后,也是笑坏了。这个HR说,先看专业,专业不行的再看学历,这哪里是提高招聘标准的意思?这明明是降低标准嘛。用数学的语言来解释——原先只看了专业,如果要提高标准,应该是取专业合格且学历也合格的交集;若是先看专业再看学历,这就变成了专业和学历的并集,只要专业和学历有一个达标就可以进入下一级了。

相信很多朋友看了这一段还是云里雾里的,其实这个故事就是一个典型的缺乏数学思维的HR闹出来的笑话。 交集和并集,这是高中学的数学知识点,相信大部分人都学过,却早已经还给老师了。把具体问题抽象到数学思考里,我还可以讲一个著名数学家 亚伯拉罕·瓦尔德(Abraham Wald)与失踪弹孔的故事。

1902年,亚伯拉罕·瓦尔德出生于当时的克劳森堡,隶属奥匈帝国(后隶属罗马尼亚)。

瓦尔德是一位天生的数学家,凭借出众的数学天赋,他被维也纳大学录取。后来去了纽约。二战期间,瓦尔德都在哥伦比亚大学的统计研究小组(SRG)中工作。

统计研究小组是一个秘密计划的产物,它的任务是组织美国的统计学家为“二战”服务。

当时军方需要解决飞机被击落的概率问题,只要降低飞机被击落的概率,就可以夺得空战的优势。

数据分析后,有人发现返航的飞机中,大部分的弹孔出现在机翼和机身,而发动机几乎没有弹孔,所以军方就认为应该对机翼和机身披上装甲。

瓦尔德却给出了一个完全不同的答案。他说,需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的部位,而应该是没有弹孔的地方,也就是飞机的引擎。

瓦尔德的独到见解可以概括为一个问题: 飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的,但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少,那些失踪的弹孔在哪儿呢?

瓦尔德深信,这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飞机引擎上的弹孔比较少,其原因是引擎被击中的飞机未能返航。

大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地,这个事实充分说明机身可以经受住打击(因此无须加装装甲)。

如果去医院的病房看看,就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多,其原因不在于胸部中弹的人少,而是胸部中弹后难以存活。

当然,瓦尔德是对的。为什么瓦尔德能看到军官们无法看到的问题?

根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯。

从事数学研究的人经常会询问:“你的假设是什么?这些假设合理吗?”

在这个例子中,军官们在不经意间做出了一个假设:返航飞机是所有飞机的随机样本。

如果这个假设真的成立,我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。

但是,一旦认识到自己做出了这样的假设,我们立刻就会知道这个假设根本不成立,因为我们没有理由认为,无论飞机的哪个部位被击中,幸存的可能性是一样的。用数学语言来说,飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性。——素材选自《魔鬼数学:大数据时代,数学思维的力量》

这就是典型的数学思维。导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”(survivorship bias )的现象。

这种现象几乎在所有的环境条件下都存在,包括金融界。其实数学家得出的这个结论,如果用概率论的详细分布公式去验证,是极为复杂的。这种先假设求证,再在现实中不断反复推演的思维方式,才是真正的数学思维。

这类关于数学思维的书籍,近些年来随着这个概念的兴起,而不断传入中国。有心人都可以找到。

我来总结一下,数学思维培育的大致路径是这样:通过课内学习,已经初步具备解决基础数学问题的能力→通过一些数学思维课进一步激发学数学的兴趣→找到可汗学院这样的系统学习平台,通过不断推进学习新知识来强化旧知识的掌握→有兴趣的同学学奥数解决数学难题

有了这种抽象的思维能力之后,再去看待现实生活中发生的头绪纷杂的事情,能够根据已有的形式的符号代入,来解决实际的问题,这才是真正的数学思维的一种循环。

怎么规划数学学习?

虽然越来越多家长意识到数学思维的重要性,可是有多少家长会对如何进行数学学习这个问题做系统性的思考呢?根据我的观察,很少很少。很多家长本身从小就对数学充满了恐惧,现在忽然意识到数学思维是影响孩子未来成长的重要因素,既茫然又焦虑,更容易无方向地乱撞乱试。到底该如何制定一个有目标的整体的数学学习规划?数学能力的培养,离不开儿童认知的发展。所以,我们还是有必要先看一看皮亚杰的儿童认知发展四阶段理论。到目前为止,这还是被广泛认同的。1

第一阶段:感知运动阶段(0-2岁);

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第二阶段:前运算阶段(2-7岁),儿童认知出现象征或符号功能。这一阶段又划分为两个阶段:前概念或象征思维阶段(2~4岁)和直觉思维阶段(4~7岁)。

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第三阶段:具体运算阶段(7-12岁):儿童这时进行的运算仍需具体事物的支持,对那些不存在的事物或从没发生过的事情还不能进行思考。

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第四阶段:形式运算阶段(12-15岁):思维不必从具体事物和过程开始,可以利用语言文字,在头脑中想象和思维,重建事物和过程来解决问题。

并不是所有儿童都在同一年龄完成相同的阶段,但这些阶段都是必经的。在此,给大家几点可以操作的建议:

01

直觉思维阶段在孩子早期的时候,例如四到六七岁,可以用形象的方式让孩子对数学开始有感觉。比如说各种各样的游戏,包括益智类桌面游戏;还有现在层出不穷的数学绘本。蒙特梭利教具,也是这一阶段不错的选择。

在早期,孩子对抽象思维是没有兴趣的,应该用形象的游戏化的方式激发孩子的兴趣。我十分认可这种引导孩子学习数学的入门做法。可是,作为一个专业学数学的人,我也得明确告诉大家——真正的数学思维恰恰在于抽象的能力,不要指望完全通过形象化的方式来建立数学思维。根据皮亚杰的观点(《智力心理学》),很多孩子的智力不差,但是数学能力却不好,这是一个世界常见的现象。为什么会出现这种情况呢?什么是智力?智力是我们解决问题本身的逻辑思考能力。可是数学却是了解逻辑结构的专属科学。我们不了解逻辑结构但依然可以用逻辑用得很好,就好比很多人不了解乐理,但是唱歌唱得很好,但这样的人不能说他音乐素养很高。同理,很多智力很高、数学能力很差的孩子也佐证了这一点。从这个角度,益智游戏是可以激发人的智力,但是如果不加引导,还是无法转化为数学思维。

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具体运算阶段这个阶段大概在7-12岁,就是小学阶段。这个阶段,家长应该开始密切观察,当孩子对这些益智游戏有感和某些数学难题有兴趣的时候,要开始进入数学思维的引导。

如果家长自己无法把游戏转化为数学语言,就要借助专业机构的一些课程,比如学校的数学学习,或者可汗学院的初级课程。课外的某些数学思维课程,也是可以尝试的。这些课程普遍会在形式上下功夫,比较有趣。这类数学游戏其实在某宝上特别多,大同小异,可以让孩子玩玩,不要太迷信就是了,会玩游戏和学数学还是两码事。

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形式运算阶段到了初中阶段(12-15岁),就是真正塑造数学思维的阶段了。在这个时候,如果真要培养数学思维,就应该快速向前,推动孩子从形象表达、图形表达中迅速上升到抽象表达,要鼓励孩子迈过抽象这个难关,这可能才是真正培养数学思维的开始。

当观察到孩子通过形象化的方式对数学建立起一定的认知,能够解决一些简单的数学问题后,要马上进入下一步,进入抽象的能力。什么叫抽象的能力?前面说的失踪弹孔的故事说的是一个抽象能力,把具体的现实生活中的问题,抽象成数学的语言,再通过数学中已有的结论来解决。 这个过程恰恰是形象思维的反过程,是真正体现数学思维的过程。我认为数学思维有两个不可缺少的因素:第一个是用数学的方式把具体问题抽象出来的能力;第二个是感受纯数学之美的能力。数学之美的传递,绝不是依靠机械传统的数学教育,很多数学家都在数学教育方面做出了努力,父母自己也可以先去看看。

在《爱与数学》这本书中,著名的数学家爱德华.弗伦克尔这段话写得非常好,就好像是我们中国的数学教育的写照,看来全世界的数学教育都差不多——如果学校在我们必修的“美术课”上只教给我们粉刷篱笆的方法,却从来不各我们展示达芬奇与毕加索的作品,那么大家会有什么样的感觉呢?

这样做能提高艺术鉴赏力吗?你还会有学习的欲望吗?我想答案是否定的。。。

但是,学校就是这样教授数学的。因此,在大多数人眼中,学习数学毫无意义,就像在篱芭旁边坐等油漆干透。想要看到美术大师们的画作并不那么困难,但是数学大师们的研究成果却通常被束之高阁。

数学教育是如此僵化,我们也只能依靠自己了。

要敢于去理解抽象,敢于去挑战,这是建立数学思维需要具备的能力。这是父母必须传递给孩子的,鼓励他们,而不仅仅是把他们送到辅导机构,学会刷题。

当然,到了这个阶段,自学能力是更为重要的,父母除了精神鼓励、帮忙找找学习资源之外,已经很难进行具体的指导了。

关于进入形式运算阶段的年龄,按照皮亚杰的观点,可能要到12岁以上,才会有这种抽象思维的能力。

不过很多伟大的物理学家、数学家可能十四五岁时已经在学微积分了。

皮亚杰的时代已经过去几十年,时代环境都在变化,其实是不能迷信的。

但是目前很多早教和儿童发展的观点还是延用了他的观点。

我的态度是,每个孩子的情况不同,需要家长细心观察。

前面提到的数学思维,其实并不属于专业的数学家范畴。

数学家爱德华说,我们学几个和弦可能就能弹奏吉他来点缀生活,但绝不是要求你成为一个音乐家或吉他演奏专家。

我们了解数学的基本概念,有一定的抽象能力,能够感受数学之美,就能在生活中、学习其他学科时游刃有余了,并不是要求孩子们都成为数学家。

残忍地说一句,如果你不想当甩手掌柜,数学思维的培养,某种程度上来说还是要依靠家长自身的视野和对资源的把控力(另外,你自己首先要克服当年对数学的恐惧吧,否则这种心态也是会传染的)。

在这个日新月异的时代,一个数学的学习尚且如此,更不要说给孩子制定更加系统的成长和学习的规划了。

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小学数学好不好,数学思维很重要
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