数学能力不在于运算，而是在于数学思维
什么是数学思维？
先跟大家说件最近听说的事儿，大家也练练脑：朋友的公司最近正在招人，由于公司效益好，简历特别多。一开始他们只是设定了专业的要求，没有设置学历的要求。朋友就跟HR说，我们要提高招聘标准，不然面试的人数太多。随后HR就给出了一个新的招人条件——原先只看专业，现在的条件变成“先看专业，如果专业不合格就看学历”，只要学历高，也可以进面试。这就是这位HR理解的所谓“提高”了面试条件。我这个朋友是学理科出身，当时就乐了。
我听了之后，也是笑坏了。这个HR说，先看专业，专业不行的再看学历，这哪里是提高招聘标准的意思？这明明是降低标准嘛。用数学的语言来解释——原先只看了专业，如果要提高标准，应该是取专业合格且学历也合格的交集；若是先看专业再看学历，这就变成了专业和学历的并集，只要专业和学历有一个达标就可以进入下一级了。
相信很多朋友看了这一段还是云里雾里的，其实这个故事就是一个典型的缺乏数学思维的HR闹出来的笑话。 交集和并集，这是高中学的数学知识点，相信大部分人都学过，却早已经还给老师了。把具体问题抽象到数学思考里，我还可以讲一个著名数学家 亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）与失踪弹孔的故事。
1902年，亚伯拉罕·瓦尔德出生于当时的克劳森堡，隶属奥匈帝国（后隶属罗马尼亚）。
瓦尔德是一位天生的数学家，凭借出众的数学天赋，他被维也纳大学录取。后来去了纽约。二战期间，瓦尔德都在哥伦比亚大学的统计研究小组（SRG）中工作。
统计研究小组是一个秘密计划的产物，它的任务是组织美国的统计学家为“二战”服务。
当时军方需要解决飞机被击落的概率问题，只要降低飞机被击落的概率，就可以夺得空战的优势。
数据分析后，有人发现返航的飞机中，大部分的弹孔出现在机翼和机身，而发动机几乎没有弹孔，所以军方就认为应该对机翼和机身披上装甲。
瓦尔德却给出了一个完全不同的答案。他说，需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的部位，而应该是没有弹孔的地方，也就是飞机的引擎。
瓦尔德的独到见解可以概括为一个问题： 飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少，那些失踪的弹孔在哪儿呢？
瓦尔德深信，这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飞机引擎上的弹孔比较少，其原因是引擎被击中的飞机未能返航。
大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地，这个事实充分说明机身可以经受住打击（因此无须加装装甲）。
如果去医院的病房看看，就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多，其原因不在于胸部中弹的人少，而是胸部中弹后难以存活。
当然，瓦尔德是对的。为什么瓦尔德能看到军官们无法看到的问题？
根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯。
从事数学研究的人经常会询问：“你的假设是什么？这些假设合理吗？”
在这个例子中，军官们在不经意间做出了一个假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。
如果这个假设真的成立，我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。
但是，一旦认识到自己做出了这样的假设，我们立刻就会知道这个假设根本不成立，因为我们没有理由认为，无论飞机的哪个部位被击中，幸存的可能性是一样的。用数学语言来说，飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性。——素材选自《魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量》
这就是典型的数学思维。导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”（survivorship bias ）的现象。
这种现象几乎在所有的环境条件下都存在，包括金融界。其实数学家得出的这个结论，如果用概率论的详细分布公式去验证，是极为复杂的。这种先假设求证，再在现实中不断反复推演的思维方式，才是真正的数学思维。
这类关于数学思维的书籍，近些年来随着这个概念的兴起，而不断传入中国。有心人都可以找到。
我来总结一下，数学思维培育的大致路径是这样：通过课内学习，已经初步具备解决基础数学问题的能力→通过一些数学思维课进一步激发学数学的兴趣→找到可汗学院这样的系统学习平台，通过不断推进学习新知识来强化旧知识的掌握→有兴趣的同学学奥数解决数学难题
有了这种抽象的思维能力之后，再去看待现实生活中发生的头绪纷杂的事情，能够根据已有的形式的符号代入，来解决实际的问题，这才是真正的数学思维的一种循环。
怎么规划数学学习？
虽然越来越多家长意识到数学思维的重要性，可是有多少家长会对如何进行数学学习这个问题做系统性的思考呢？根据我的观察，很少很少。很多家长本身从小就对数学充满了恐惧，现在忽然意识到数学思维是影响孩子未来成长的重要因素，既茫然又焦虑，更容易无方向地乱撞乱试。到底该如何制定一个有目标的整体的数学学习规划？数学能力的培养，离不开儿童认知的发展。所以，我们还是有必要先看一看皮亚杰的儿童认知发展四阶段理论。到目前为止，这还是被广泛认同的。1
第一阶段：感知运动阶段（0-2岁）；
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第二阶段：前运算阶段（2-7岁），儿童认知出现象征或符号功能。这一阶段又划分为两个阶段：前概念或象征思维阶段（2～4岁）和直觉思维阶段（4～7岁）。
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第三阶段：具体运算阶段（7-12岁）：儿童这时进行的运算仍需具体事物的支持，对那些不存在的事物或从没发生过的事情还不能进行思考。
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第四阶段：形式运算阶段（12-15岁）：思维不必从具体事物和过程开始，可以利用语言文字，在头脑中想象和思维，重建事物和过程来解决问题。
并不是所有儿童都在同一年龄完成相同的阶段，但这些阶段都是必经的。在此，给大家几点可以操作的建议：
01
直觉思维阶段在孩子早期的时候，例如四到六七岁，可以用形象的方式让孩子对数学开始有感觉。比如说各种各样的游戏，包括益智类桌面游戏；还有现在层出不穷的数学绘本。蒙特梭利教具，也是这一阶段不错的选择。
在早期，孩子对抽象思维是没有兴趣的，应该用形象的游戏化的方式激发孩子的兴趣。我十分认可这种引导孩子学习数学的入门做法。可是，作为一个专业学数学的人，我也得明确告诉大家——真正的数学思维恰恰在于抽象的能力，不要指望完全通过形象化的方式来建立数学思维。根据皮亚杰的观点（《智力心理学》），很多孩子的智力不差，但是数学能力却不好，这是一个世界常见的现象。为什么会出现这种情况呢？什么是智力？智力是我们解决问题本身的逻辑思考能力。可是数学却是了解逻辑结构的专属科学。我们不了解逻辑结构但依然可以用逻辑用得很好，就好比很多人不了解乐理，但是唱歌唱得很好，但这样的人不能说他音乐素养很高。同理，很多智力很高、数学能力很差的孩子也佐证了这一点。从这个角度，益智游戏是可以激发人的智力，但是如果不加引导，还是无法转化为数学思维。
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具体运算阶段这个阶段大概在7-12岁，就是小学阶段。这个阶段，家长应该开始密切观察，当孩子对这些益智游戏有感和某些数学难题有兴趣的时候，要开始进入数学思维的引导。
如果家长自己无法把游戏转化为数学语言，就要借助专业机构的一些课程，比如学校的数学学习，或者可汗学院的初级课程。课外的某些数学思维课程，也是可以尝试的。这些课程普遍会在形式上下功夫，比较有趣。这类数学游戏其实在某宝上特别多，大同小异，可以让孩子玩玩，不要太迷信就是了，会玩游戏和学数学还是两码事。
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形式运算阶段到了初中阶段（12-15岁），就是真正塑造数学思维的阶段了。在这个时候，如果真要培养数学思维，就应该快速向前，推动孩子从形象表达、图形表达中迅速上升到抽象表达，要鼓励孩子迈过抽象这个难关，这可能才是真正培养数学思维的开始。
当观察到孩子通过形象化的方式对数学建立起一定的认知，能够解决一些简单的数学问题后，要马上进入下一步，进入抽象的能力。什么叫抽象的能力？前面说的失踪弹孔的故事说的是一个抽象能力，把具体的现实生活中的问题，抽象成数学的语言，再通过数学中已有的结论来解决。 这个过程恰恰是形象思维的反过程，是真正体现数学思维的过程。我认为数学思维有两个不可缺少的因素：第一个是用数学的方式把具体问题抽象出来的能力；第二个是感受纯数学之美的能力。数学之美的传递，绝不是依靠机械传统的数学教育，很多数学家都在数学教育方面做出了努力，父母自己也可以先去看看。
在《爱与数学》这本书中，著名的数学家爱德华.弗伦克尔这段话写得非常好，就好像是我们中国的数学教育的写照，看来全世界的数学教育都差不多——如果学校在我们必修的“美术课”上只教给我们粉刷篱笆的方法，却从来不各我们展示达芬奇与毕加索的作品，那么大家会有什么样的感觉呢？
这样做能提高艺术鉴赏力吗？你还会有学习的欲望吗？我想答案是否定的。。。
但是，学校就是这样教授数学的。因此，在大多数人眼中，学习数学毫无意义，就像在篱芭旁边坐等油漆干透。想要看到美术大师们的画作并不那么困难，但是数学大师们的研究成果却通常被束之高阁。
数学教育是如此僵化，我们也只能依靠自己了。
要敢于去理解抽象，敢于去挑战，这是建立数学思维需要具备的能力。这是父母必须传递给孩子的，鼓励他们，而不仅仅是把他们送到辅导机构，学会刷题。
当然，到了这个阶段，自学能力是更为重要的，父母除了精神鼓励、帮忙找找学习资源之外，已经很难进行具体的指导了。
关于进入形式运算阶段的年龄，按照皮亚杰的观点，可能要到12岁以上，才会有这种抽象思维的能力。
不过很多伟大的物理学家、数学家可能十四五岁时已经在学微积分了。
皮亚杰的时代已经过去几十年，时代环境都在变化，其实是不能迷信的。
但是目前很多早教和儿童发展的观点还是延用了他的观点。
我的态度是，每个孩子的情况不同，需要家长细心观察。
前面提到的数学思维，其实并不属于专业的数学家范畴。
数学家爱德华说，我们学几个和弦可能就能弹奏吉他来点缀生活，但绝不是要求你成为一个音乐家或吉他演奏专家。
我们了解数学的基本概念，有一定的抽象能力，能够感受数学之美，就能在生活中、学习其他学科时游刃有余了，并不是要求孩子们都成为数学家。
残忍地说一句，如果你不想当甩手掌柜，数学思维的培养，某种程度上来说还是要依靠家长自身的视野和对资源的把控力（另外，你自己首先要克服当年对数学的恐惧吧，否则这种心态也是会传染的）。
在这个日新月异的时代，一个数学的学习尚且如此，更不要说给孩子制定更加系统的成长和学习的规划了。