纪志刚提出的《九章算术》“少广”术中的“全步积分”
出土算数书中的“投”与“设”，究竟是啥关系？日期:2019年09月20日 16:47:30 作者:艾俊川对 “积分”，彭浩认为是“若干个分数通分相加后所得之分数”，纪志刚指为“误解”。确实如此，因为经过前面“以半为若干……”的转换，所有分数已化为整数。但纪志刚对“积分”的解释，也同样是误解。他将“积分”以下的句子断为“积分以尽，所求分同之以为法”，认为此“积分”并非《九章算术》“少广”术中的“全步积分”,而是指“广”的各个分数，“积分以尽”指所有的分数皆已约化为整数；“所求分”指通分后的分子(分母已被约掉)。这种解读，不符合文本原意。在古代数学、天文书中，还没有看到“积分”可以解释成“各个分数”的例子。“分”是一个基本数量单位的下一级单位，“积”则是累加，“积分”是“分”的总和。就像纪志刚提出的《九章算术》“少广”术中的“全步积分”：置所求步数，以全步积分乘之，为实。实如法而一，得从步。
《九章算术》书影“全步积分”指由“全步”（一整步）转化而来的所有“分”，相当于《算数书》中的“以一为若干”。两个“积分”虽然内涵不完全一致，但性质相同，都是“步”的向下拆分单位“分”的总和，只不过《算数书》中的“积分”除了一整步化成的分，还要加上各分数步化成的分。纪文又认为 “所求分同之”指“通分后的分子相加”,但术中并未给出通分公式，也未提出通分要求，并不存在这样的运算。“少广之术”最后一个步骤，都是常规算法：借筹（增加算筹）设置一亩田的步数二百四十步，将与“一步”对应的“若干分”与其相乘，求得240步的“积步”，作为被除数。用积分除积步，每满一个积分，得出纵边（从）一步，不足一步的余数，化成以积分为分母的分数。在这一步骤中，积分与积步形成新分数，因为分母乘过最小公倍数，所以分子也要乘以相同倍数（若干分），才能保证二者相除后得数正确。通读一遍，《算数书·少广》术文道理简单，意思显豁。除了张家山汉简和放马滩秦简，岳麓书院、北京大学等处所藏出土秦代算书中也有“投”字（岳麓简原释为“救”），若代以“设”字，均文从字顺。北大藏秦简《算书》“方田”中有“其投所用三章”一句，旧释未能贯通，现在借机会讨论一下。术文说：欲方田述（术），耤（藉）方十六而有余十六，耤（藉）方十五不足十五，即并赢（盈）、不足以为法；而直（置）十五，亦耤（藉）十五令相乘殹（也），即成步；有（又）耤（藉）卅一分十五，令韦（维）乘上十五，有（又）令十五自乘殹（也），十五成一，从韦（维）乘者而卅一成一，乃得从上，即成为田一亩。其投此用三章。韩巍先生解释说：“'投’字作为秦汉《算书》类文献中常用的术语，义为'求取’、'求解’。'其投此用三章’，大概是说求解这种问题要用到'三章’的方法，究竟是指哪'三章’，还有待进一步的整理和研究。”（《北大秦简〈算书〉土地面积类算题初识》,《简帛》第八辑,上海古籍出版社，2013年版）按细绎文义，此节文字首尾呼应，“欲方田术……其投此用三章”，实为一句话分在两处说，中间列出计算方田的算式，又分三个小算式，各以“即”字结束，就是“即并盈不足以为法”，“即成步”和“即成为田一亩”，它们显然是后文所言“三章”。最后一句，“其”指代“欲方田术”；“投此”乃“设此”，“用三章”即使用三个步骤，通读为“想做方田计算，就设置上述算式使用三个步骤”。这是对首句的呼应，也是对整个算法的总结。此时“三章”已经摆列出来并使用完毕，不需要也无从“求取”“求解”了。出土算数书中的“投”可读为“设”，传世文献中也有些许“设”“投”似曾混用的痕迹，如《史记》卷六十九：“苏秦既约六国從亲，归赵，赵肃侯封为武安君，乃设從约书于秦。”司马贞索隐：“乃设從约书，案诸本作投。”《汉书》注卷一百上引应劭：“饵为爵禄，君所以制使其臣，亦犹钓鱼之设饵也。”宋祁补注：“注文设一作投。”这些异文不排除是文本传抄中产生的讹误。但出土算数书中的“投”与“设”，从训诂角度看词义相同，从文字角度看均由“殳”组成，可谓形近，那么是否存在一种可能性，即“投”是“设”的一种早期写法 （放马滩简若干“投”字原写作“殳”，其实也可能是“设”的简写）？献疑于此，愿求教于高明。作者：艾俊川编辑：刘迪责任编辑：任思蕴*文汇独家稿件，转载请注明出处。古人是如何做除法的？日期:2019年09月20日 16:47:29 作者:艾俊川传世文献中也偶有“投”用作“置放”之义的例子。承郭永秉先生指示，《老子·德经》中“兕无所投其角，虎无所措其爪”，“投”与“措（措置义）”对文，也可能是“置放”的意思。《算数书》这个“投”字，既可训“取”，又可训“置”，但“取”和“置”独立使用时是两个相反的动作，并非同义词，只有摆设物品，从一边取来，到另一边放下，“取”和“置”对应着移动中的同一物体，才能表达同一过程。摆放算筹，这边放下多少枚，等于从那边取来多少枚，所以既可说“取筹”若干，又可说“置筹”若干，如换用一个能概括整个过程而包容“取”“置”二义的词，应该是“设”。秦汉时“设”和“置”词义极近，毋须详辩；“设”与“取”也词义相近。如《管子》卷十三“心术上”：“感而后应，非所设也；缘理而动，非所取也。”又如《韩非子》卷十九“显学”：“宋荣子之议，设不斗争，取不随仇。”“设”与“取”均相对为言。
张家山出土《算数书》之《少广》，右数第9行起，据《张家山汉墓竹简（二四七号墓）》，文物出版社，2001年对《九章算术》中的“置”，魏晋时人刘辉曾用“设”来注释，其《少广》“以三乘所得数置中行”，刘辉注为“设三廉之定长”。“置”是具体操作，“设”是操作的全程。唐宋以还，数学书中“设”字渐多，如唐李淳风注《九章算术》，所用一些“设”即为“置”义；又如宋杨辉撰《详解九章算法》，将《九章算术·少广》中的“置全步及分母子”直接引述为“设诸分母子”。这种用法一直沿用到今天，现在解数学题也要先“设”条件。通此一义，“投少广之术”即“设少广之术”；“所投分”即“所设分”。下面以通用字对《算数书·少广》录文，重新标点，对文义略加疏通，其中为厘清逻辑关系，使用了一个括号。少广投少广之术。曰先置广。即曰下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干……积分（以尽所投分同之）以为法。即藉置田二百四十步,亦以一为若干,以为积步,除积步,如法得纵一步。不盈步者,以法命其分。“投少广之术”，设立少广术算式。“曰”和下文“即曰”、“即”表示算式内容，也提示三个运算步骤。“先置广”，首先设置“广”即田地的横边。“下有若干步，以一为若干,以半为若干，以三分为若干，积分（以尽所投分同之）以为法”，算式下方此时摆出“广”的数值“若干步”，步数包含整数和分数。将一步设定为若干分，半步设定为若干分，三分之一步设定为若干分……以此类推。把“分”累积起来（算法是将所有设定的“分”加起来），作为除数（法）。已知矩形面积和一条边长，求另一条边长，在使用小数的情况下，是简单的除法题。但中国古代没有小数概念，非整数都用分数表示，难做除法，于是发展出 “少广术”专门解决此类问题。其术是把除数中的分数化为整数，以便相除，从现代数学看，是求出最小公倍数，与各分数相乘，直接将所有分母约掉，再将通分后的分子加起来。《九章算术》中设有公式:“置全步及分母子,以最下分母乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左，命通分者。又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之,并之为法。”看上去很是复杂。《算数书》是简单算法，没有给出求公倍数和通分的公式，而是在算题集中给出预先算好的数值，即当“广”分别包含1-9个相加的分数时，对“一步”、“半步”直到“九分之一步”均设定相应的“分”，供解题者使用。所以术文在求“积分”时，不用通分，直接以对应的数值即“所投分”相加即可。在以前的研究中，对“下有若干步”，纪志刚认为即指“最下分数的分母”，实则不然。“若干”后面带有单位“步”，是步的数量，而非其中一个分数的分母。这就像一群人站队，个子高的站在最后，我们不能将“外面有若干人”说成“外面站着大个子”。再说这一步骤是求积分的，如果只有一个数，就不劳“以尽所投分同之”了。作者：艾俊川编辑：刘迪责任编辑：任思蕴*文汇独家稿件，转载请注明出处。一亩之田，已知宽度，咋求长度？日期:2019年09月20日 16:47:29 作者:艾俊川1986年出土于湖北江陵的张家山汉代竹简，内有一部《算数书》，内容与我国最早的传世数学著作《九章算术》接近，成书年代则早于后者，在数学史研究中地位重要。《算数书》有《少广》一章，内列一亩之田已知宽度、求其长度的解题方法和算题集。“少广”是古代“九数”之一，著名的数学课题，《九章算术》也专列一章，包含以最小公倍数通分、开平方、开立方等复杂公式和算题。《算数书》中的《少广》没有这么多内容，只是提供一个简便算法，用来解决生活中的土地步量问题。对《少广》的整理注释，主要有彭浩先生《张家山汉墓〈算数书〉注释》的相关部分（科学出版社，2001年）与纪志刚先生《〈算数书〉“少广”“大广”二问的释读与校勘》（《自然科学史研究》，第24卷第3期，2005年）。现在看来，两个注本都有未愜之处，并且文中有一个难识之字，众说纷纭，影响到对文义的理解，有必要再作讨论。
“投”少广之术下面从《张家山汉墓〈算数书〉注释》节录《少广》的术文部分：少广救（求）少广之术曰:先直（置）广,即曰:下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分以尽所救（求）分同之,以为法。即耤（藉）直(置)田二百四十步,亦以一为若干,以为积步,除积步,如法得從（纵）一步。不盈步者,以法命其分。 文中有几对通假字。第一个字前后出现两次，彭浩将其隶定为“救”，读为“求”，引来不少商榷意见。下面“直”读为“置”，“耤”读为“藉”，“從”读为“纵”，都是算术用语，在出土文献中常见，没有异议。对彭浩释为“救”的字，吴朝阳释为“扱”，谭竞男释为“牧”，均取义为“求”，指“求解”“求取答案”。按“求”义在文中扞格难通。在第一处，“少广之术”是用来解题的现成方法，下面运算都据此进行，若此字确为“求取答案”之义，就应当说“以少广之术求之”，而非“求少广之术”，否则就变成对“少广之术”本身的推演了。岳麓书院藏秦简《数》“少广术”的类似起首语句，为“述（术）曰以少广”、“即以少广曰”，所用词皆为“以”，与“求”义无关。该简行文中又说“以少广求之”，可见古人言辞简练而逻辑严密。（见肖灿《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》，湖南大学博士论文，2010）在第二处，如果真是“所求分”，而且能相加（“同之”），那是“所求”已有结果，但实际情况是运算刚刚开始，远未有答案。所以这两处都不会是“求”义。程少轩先生《小议秦汉简中训为“取”的“投”》一文（《中国文字学报》，第七辑，2017），将此字与放马滩秦简《钟律式占》中字形相同而较清晰的“投”字进行综合研究，认为此字也是“投”，在算数书中应训为“取”。这是个通达的解释。在“取”的“采用”之义上，《少广》两处文字均可讲通，第一处即“取用少广之术”，第二处即“将所取用的算筹相加”，但若使用“求取”之义，依然不通。既然此字即放马滩秦简中的“投”字，我们可以利用该简中的训诂资料更进一解（下文所引放马滩秦简文均据《秦简牍合集4放马滩秦墓简牍》，武汉大学出版社，2014）。
尽所“投”分放马滩秦简中很多占法需要通过计算来进行，程少轩文中举出不少例子，但有一条与我们现在讨论的问题密切相关，他没有提及：凡阴阳钟，各殳（投）所卜大娄（数）曰置娄（数）者。（《阴阳钟》，第130页）此句通过“曰”建立起一个等式，“投大数”=“置数”，也就是“投”=“置”。再看程少轩引用的两段文字：凡人来问病者，以来时投日、辰、时数并之。（《问病》，第142页）占病者，以其来问时直日、辰、时，因而三之。（《占病》，第144页）程少轩认为从“直日辰时”可知占卜是用求卜时刻的天干、地支、时辰对应的具体数值计算，但未揭出这两句也直接表明“投”的词义等同于“直”。他将“直”读为“值”，解为“数值”，则可商榷。此“直”应和《算数书》中的“直”一样，释为“置”，即用算筹摆出数字，给出计算条件。上引文“置”用在“日辰时”前面，所置确是它们的数值，但“置”本身并不是数值。用算筹摆出数字，给定条件，在《九章算术》中统称为“置”，在出土秦汉文献中多写作“直”，它们是没有争议的一对通假字。作者：艾俊川编辑：刘迪责任编辑：任思蕴*文汇独家稿件，转载请注明出处。湖州何以被成为“文武兼备”日期:2019年09月20日 16:46:45 作者:汤朔梅我喜欢浙江的山水人文。尤以湖州为甚。童年记忆中，一位在湖州工作的长辈总带上茶叶来看我卧病的祖父。在我心里，湖州便与茶叶联系起来。再后来，上学用描红簿练字，用的是他带回来的毛笔。初通文墨后知道，这叫湖笔，作为文房四宝之一享誉国内。再后来读《三国演义》，长沙太守孙坚是乌程侯，注释说“乌程”即湖州。近日自驾去湖州，作一番深度游。这次给我的感觉是：湖州有今天，完全是出于自然、历史、人文的滋养与积淀。顾名思义，湖州因北濒太湖而得名。其实，在她的怀抱中不知有多少湖泊、水库。为人们所熟悉的有下渚湖、仙山湖、老虎潭，更多的是无名的湖泊。它们或镶嵌在山峦缝隙间，莹莹如明镜；或自成体系，或由江河萦带着，百折千回滋养、烘托出苍翠的群山。湖州山闻名者，莫过于莫干山。此域竹树丰茂而霭岚时兴，梅雨季中，云一阵雨一阵，苍翠欲滴，重泉潺湲。我驱车转悠在妙西的西塞山间，半是迷失，半是漫无目的，那该是张志和“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”的西塞山吧？车转入山村。那些干净整齐的民宿经梅雨的浸润，有《富村山居图》的意蕴。也许是白天吸满了山野的清新，夜晚全无睡意。伫立窗前，面对天光与群山苍茫的影，思绪联翩。湖州地处浙北，据史料记载，公元前200多年，春申君黄歇曾受封此地。上海的母亲河黄浦江原名申江，就以此得名。黄浦江滥觞于太湖，所以，上海与湖州有着千丝万缕的联系。湖州曾名“菰城县”，“菰”是一种长在水边的植物，名“菰白”，即如今的“茭白”。想必当年湖州盛产而以此得名。如今上海的青浦依旧以产“菰白”而闻名，应与其比邻的湖州不无关系。翻开历史的画卷，湖州可谓文武兼备，群星璀璨。
南北朝陈朝武帝陈霸先湖州涌现过不少将才、英雄，仅取两例证明。譬如三国时代的朱然，据《三国志》记载：“然尝与权同学书，结恩爱。至权统事，以然为余姚长。”孙权被曹操感叹“生子当如孙仲谋”，可见朱然得其信任，非同凡夫。后朱然从讨关羽，与潘璋共擒之。虎威将军吕蒙病笃，权问曰：卿如不起，谁可代者？蒙对曰：朱然胆守有余，愚以为可任。可谓一时之将才，威震华夏。另一位则是陈霸先，他是南朝陈的开国之君，《南史·陈本纪》记载，“其本甚微”“少倜傥有大志，长于谋略，意气雄杰……涉猎史籍，好读兵书，明纬候、孤虚、遁甲之术，多武艺，明达果断，为当时推服。”其在萧梁朝为官，平交趾、讨侯景、靖叛乱，一生俭朴勤勉，终于在南京建立了中国历史上独有的以姓氏为朝代名的南朝陈，逐鹿中原，盖一世之雄杰也。然国祚不永，仅四世三十余年，终因陈后主疏于国政、荒淫无度而国废。然而，陈霸先的功业彪炳史册。如今在长兴县，建有陈武帝故宫。近代及民国以降，湖州人才辈出。同盟会元老陈其美一生追随孙中山民主革命，被其誉为“东南半壁，君实锁钥”。中国共产党隐蔽战线中“龙潭三杰”之一的钱壮飞也出于湖州。可谓大泽龙蛇，豪杰并起。他们铸就了湖州人的豪情与胆气。这种历史的沉淀与浸润，影响了如今的湖州人闯荡天下，建设家乡，贡献国家的志向与情怀。次日起了个大早，寻访赵孟頫故居。
赵孟頫最终还是回到湖州终老江南出士子，在漫长的历史长河中，湖州可谓俊采星驰。有孟郊、赵孟頫、陆羽、张先、沈万山、凌濛初、吴昌硕、沈尹默、俞樾、赵九章、徐森玉等。而赵孟頫为大家所熟知。他作为宋朝皇帝的后裔，富有才名，入元后深得元世祖器重，辗转为官，最后还是回到老家湖州终老。他是“楷书四大家”之一，其书法令人仰慕；他与德清才女管道升的故事与那首《我侬词》，成为美谈，千古传颂。赵孟頫作为宋之帝胄而入仕元朝，常被后人病诟，并说其字有媚骨。这实在是牵强。我倒以为，他的书法达到秀美、圆润的境界，其实正得之于湖州山水的浸染与熏陶。不说那个一树梨花压海棠的“三影郎中”张先，也省略传说中有一只聚宝盆、富可敌国的沈万三，但不能不提吟就“谁言寸草心，报得三春晖”的诗人孟郊。孟郊祠在德清春晖街。屋舍如普通民房，若不是黄墙红瓦，实难找到。两扇不大的木门关闭着，从隙开的门缝间向内张望，是孟郊的塑像，安详中略带愁苦。我并不诧异。“郊寒岛瘦”的孟郊一生贫寒，正因为生活的艰辛，才苦吟出“慈母手中线，游子身上衣”这样揪心的感恩。
孟郊的“谁言寸草心，报得三春晖”成为千古名句至于近代和现代，吴昌硕、沈尹默成名于湖州，终于走向上海，成为“海派书画”的开山之祖与弘扬者。而俞樾在学界则以俞曲园称名。作为朴学大师，学养深厚，有他这样的学问，才能教导出章太炎、吴昌硕这样的弟子。至于赵九章，大家也许不熟，但只要说我国划时代的“东方红一号卫星”，你就不会陌生，他就是总设计师。徐森玉呢？故宫博物院院长、博学的鉴定大家，更在抗战时一路护送故宫文物内迁，以至于摔断腿骨。所以周恩来称“森老是国宝”。
近代著名画家吴昌硕除了这些文化名人，湖州还有许多文物建筑。别的不说，但举藏书楼，著名的就有四座。坐落于吴兴区月河街8号的皕宋楼，是清末国内“四大藏书楼”之一，藏主为陆心源。藏书逾四千部二十万卷，尤以宋元孤本、善本为多，也以此而居“四大藏书楼”之首。它地处千甓亭内，如今已人去楼空，只剩嵌着“千甓亭”字样的文物保护碑矗在门首。如今尚保存完好的藏书楼，要数南浔的嘉业堂了。因末代皇帝溥仪赐“钦若嘉业”而得名。其馆藏儒家经典颇为宏富。鲁迅先生也从嘉业堂获益，在其书信、文章中多次提及，评价颇高。湖州的四大私人藏书楼，南浔就占三家，还有张均衡的“适园”，蒋汝藻的“密韵楼”。这些藏书楼的珍贵典籍，虽遭日本入侵等兵燹，但在郑振铎、徐森玉的保护下，转辗千里，如今保存在国家图书馆、浙江图书馆等处。
米芾《苕溪诗册》局部踏上归程，兴犹未尽，于是关闭导航，沿着山路而前。车沿一河流蜿蜒。此河水流急湍，问路人，曰：苕溪。噢，这就是著名的苕溪！古人关于苕溪的诗文良多。那首宋诗：晚立苕溪溪上头，往来无数采菱舟。采菱归去明朝卖，安识人闻乐与愁。那田园的情调，正是湖州今日的写照：绿水青山，富庶文明，安居乐业。何愁之有？此刻想起也是湖州的古人吴均的名句：“鸢飞戾天者，望峰息心。经纶世务者，窥谷往返。”这不是消极避世，而是告诉人们，在前进的路上，需要回首看看，低头想想。作者：汤朔梅编辑：陈韶旭责任编辑：任思蕴*文汇独家稿件，转载请注明出处。