中考数学压轴题分析:面积比的最值

本文内容选自2020年泰安中考数学压轴题,涉及面积比的最值。难度不大,与前面的一篇文章有点类似,大家可以对比一下方法。

中考数学压轴题分析:比例最值问题

面积与周长问题仍然是中考的常客,大家需要注意。

【中考真题】

(2020·泰安)若一次函数的图象与轴,轴分别交于,两点,点的坐标为,二次函数的图象过,,三点,如图(1).
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图(1),过点作轴交抛物线于点,点在抛物线上轴左侧),若恰好平分.求直线的表达式;
(3)如图(2),若点在抛物线上(点在轴右侧),连接交于点,连接,.
①当时,求点的坐标;
②求的最大值.

【分析】
题(1)求出点A和C的坐标,再代入二次函数的解析式即可。
题(2)种题目作CD∥x轴,根据这个条件,可以在y轴上面截取一点使得到点C的距离等于CD,又因为∠BCD=∩BCO=45°,所以可以利用全等得到边角的等量关系,求出直线BE的解析式,再求点E的坐标即可。
题(3)①已知比例关系,可以先设点P的坐标,然后利用面积比等于底的比,可以把面积比转化为线段PF与AF的比值,过点P作x轴的平行线构造x字型相似即可。题(3)②直接在①的基础上面,表示出m即可,然后得到最值。本题其实与之前的一篇文章种的比例最大问题类似,都是转化为相似进行求解。
【答案】解:(1)一次函数的图象与轴,轴分别交于,两点,则点、的坐标分别为、,
将点、、的坐标代入抛物线表达式得,解得,
故抛物线的表达式为:;

(2)设直线交轴于点,

从抛物线表达式知,抛物线的对称轴为,
轴交抛物线于点,故点,
由点、的坐标知,直线与的夹角为,即,
恰好平分,故,
而,
故,
,故,故点,
设直线的表达式为:,则,解得,
故直线的表达式为:;

(3)过点作轴交于点,

则,则,
而,则,解得:,
①当时,则,
设点,
由点、的坐标知,直线的表达式为:,当时,,故点,
故,
解得:或2,故点或;
②,
,故的最大值为.


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